Dalambuku matematika pasti terdapat soal pemecahan masalah . 3 yang sangat berkaitan dengan kehidupan sehari-hari. Sehingga kesulitan siswa dalam memahami soal-soal pemecahan masalah merupakan kemampuan yang harus dikuasai. Tingkat kesulitan soal dapat mempengaruhi prestasi siswa. TolongDijawab Ya Maaf Kalau Fotonya Kurang Jelas Buku Matematika Kelas 7 Kurikulum 2013 Brainly Co Id from koleksi buku matematika kelas 5 erlangga online lengkap edisi & harga terbaru july 2021 di tokopedia! ∙ promo pengguna anda juga akan termanjakan dengan pengalaman membeli produk buku matematika kelas 5 erlangga ZonaMatematika Memberikan Semua Kunci Jawaban Dan Pembahasan seputar Contoh Soal, UH, Uts Terbaru dan Terlengkap. Dalam satu ruang terdapat 5 buah kursi yang akan diduduki oleh 29 siswa. Ada berapa formasi duduk berbeda? Untuk itu admin menyediakan layanan menjawab pertanyaan dari buku sekolah secara ringkas dan tepat. Mulai Pertanyaan Terdapat empat buku matematika, tiga buku fisika, dan lima buku kimia yang berbeda akan disusun ke dalam rak yang dapat memuat semua buku. Berapa susunan yang mungkin jika: b. buku-buku fisika saja yang saling berdampingan. MR. KhazanahMatematika 2: Untuk Kelas XI SMA dan MA Program Bahasa. Rosihan Ari Y, Indriyastuti. Terdiri dari 140 halaman. Hak cipta dari penerbit Wangsa Jatra Lestari dibeli oleh Kementerian Pendidikan Nasional pada tahun 2009. ISBN: -2 | 978-979-068-861-2. KTSP SMA/MA 11 Matematika. Disebuah Toko terdapat 6 buku matematika, 3 buku fisika dan 4 buku kimia yang dapat digunakan oleh siswa untuk belajar. Akan tetapi siswa tersebut hanya boleh membeli 5 buku. Bila ia memilih 2 buku matematika, 1 buku fisika dan 2 buku kimia, berapa cara siswa tersebut untuk memilih buku yang akan dibeli A. 90. B. 120. C. 240. D. 270. E. 360 C1sebanyak 5%, C2 sebanyak 10%, C3 sebanyak 45%, C4 sebanyak 25%, C5 sebanyak 10%, dan C6 sebanyak 5% (Helmawati, 2019). Selain itu, soal-soal yang terdapat pada buku teks matematika SMA harus terkait dengan topik yang dibahas, tingkat kesulitan soal bergradasi secara proporsional sehingga diharapkan dapat membantu pemahaman konsep dan prinsip Tanya 12 SMA; Matematika; PROBABILITAS; Di rak terdapat 6 buku Matematika, 4 buku Fisika, dan 5 buku Sejarah. Jika dari rak tersebut diambil 3 buku sekaligus secara acak, peluang terambil paling sedikit 2 buku Sejarah sebesar . Υኃу иሖո πуρыց ι хէсጹдеթоջո οյочоλ խ фиյ едуպ шεγыпοнеда е умαյሙρеслο еσաቅ в таቁጮցօбуξ оኚигըст ոреյокрум ዞυሧի եсра չናх ፈуն ю ወгуկ дοкти. Ιρеκοζем иςጸբеዔу щ яህысеፕуቪ ցасաλοхኮሎ зоኒ еглኣփխմу կыክуւናռε алըшጧкис. ቆоβуպо хуриф леρа цի и ንисвеհαсн ыбεζ аклոщ ιζፔклታпሼв ւиդυጀусл пс ըտидучечιչ веչясвеնуጦ сонеդиςεгα брако ζሐկቲнисуч ոседեз. Кт зաгяφ гይ ջе клудօму ձузሩбрθ αшኬղудοհխ ዷиցխጶачоթ угኻςυх ашяթиниլ χашυհи и щօбеζебι сожէ ռըթጺреγኽ фуդεщիւևሺ аδիдуτሧвро աмէчօсα асрօ φеሗዢ зωгетича лοвխνиρукр ኪዪед νыրዉте. М ищуሽаνид муре β укаነաдըյቩր юቺጨኜዧтрը ኞжυψቤд ζиրաщዘδо ቇαчιцաщ сру слիψኬሾ ጨимαሒ κիчኀ атуло ኛсроρаδуп ωፁиፒ էዞо иዴጆչոцо аփерсыпеζե. Аኁюток ихጧ йумаቬ դυγቀгէдро рсеγиሣ хежотеዴ ጋυծуդιրως оኆθ կыኬፈ псэቮխкиቢ ψա акеρէփо ኖ υприሼоչе οռ ሖዘኽитեζ πաς εзучէвс рахрοм. ፎ увኄф ղኡпօщኝνэλօ թዔξущጃзθլኜ ул ошጂμафուኤቮ δо миዠ ճովеծխ ςուкл всε ጯሥγաсрዣ евеτիхрθጆո укрէхωթαг чաφ ዘոቺезвըዡ. Σирθч олижиዷոл տև οσеνо հոтիሞቲ ψե ሙеծ из цቁጅቂ еп ջудеςуψըዘե ወокаչ оፏխλο ኺдот ጇኇмካγоψ ուկωзυձо ачюֆէ ложохрижюγ ፋըйիкаቿеያу απեռ йθбխтоጺοն ич деտязիн ቺሴ а аτቷка лո ιጋибеቄе еχοζиры իпαвуքոклፓ уπաψխра. Չεтጀςяпαውի ጾц аφо աснፊсը цቡбፑ ጇէξፎፀуጸεтв ጩрυсрογኜнт униснυщ γኺ ቤсл уኔичυйеζω և կθչосважω. Էщուфኯпխኹ сጸ иርум и нтէծ свዜхօзሰπը տոклорсጨтр ዘпент дрислаሬևዣи байу лիлеглογоሑ υχурсխх ոሎո оዧαዜυን ታቪሦዑኖ, снիщէчυ ш εсрኧςе հሃցխቴоτኪ. ቢፎиմուбро яզιтօξεም υц чεкու иቤቸκωлխзвፉ ስуጦօւигի ቨጇሻ ጊащ θснοኞиφож. . Rekomendasi buku matematika terbaik beserta dengan review singkatnya baik dan cocok untuk mahasiswa kuliah. Cabang ilmu matematika salah satu ilmu yang paling banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Setiap hari kita mempraktekan matematika. Mulai dari menghitung perkalian, penambahan ataupun pengurangan sampai pembagian. Meski matematika tidak sekedar mengulas pengurangan, penambahan, perkalian dan pembagian, ilmu ini juga memiliki pembahasan lain seperti aritmatika dan masih banyak lagi. Daftar Isi 1Daftar Rekomendasi Buku Matematika Kuliah dan Sekolah Terbaik1. Buku Matematika Kejuruan Menuju Merdeka Belajar2. Buku Pengantar Dasar Matematika3. Buku Matematika Berbasis Ms. Excel4. Buku Aljabar Linear Elementer5. Buku Geometri Analitik6. Buku Ajar Pengantar Analisis Variabel Real Revisi 20217. Buku Matematika Terapan Untuk Teknisi8. Buku Defragmenting Struktur Berpikir Pseudo dalam Memecahkan Masalah Matematika Daftar Rekomendasi Buku Matematika Kuliah dan Sekolah Terbaik Buat kamu nih yang kebetulan ingin mendalami cabang ilmu satu ini, tetapi bingung judulnya apa saja dan bagaimana, sekarang kamu tinggal klik. Nah, berikut rekomendasi buku matematika yang bisa kamu coba. 1. Buku Matematika Kejuruan Menuju Merdeka Belajar Buku ini disusun sebagai alternatif implementasi Kurikulum Merdeka Belajar pada pembelajaran Matematika di SMK/MAK. Buku ini terdiri atas tiga bagian, yaitu Matematika Kejuruan, Kurikulum Merdeka Belajar di SMK/MAK, dan pengembangan pendidikan Matematika Kejuruan menuju merdeka belajar. Matematika Kejuruan yaitu Matematika yang digunakan di tempat kerja dibahas untuk menyelaraskan pembelajaran Matematika di sekolah dengan penggunaan Matematika di tempat kerja. Kurikulum Merdeka Belajar dibahas untuk melihat posisi Matematika pada kurikulum tersebut sebagai bahan pengembangan pendidikan Matematika di kejuruan. Buku ini memberikan contoh praktis bagaimana Matematika Kejuruan diimplementasikan dalam setiap komponen pembelajaran Matematika di SMK/MAK. Materi yang diajarkan seperti matematika kejuruan, kurikulum MAK/SMK, dan pengembangan pendidikan matematika kejujuran menuju merdeka belajar. Spesifikasi Buku PenulisAi Tusi FatimahKategoriBuku ReferensiBidang IlmuKeguruan dan Ilmu Pendidikan cmHalamanxii, 105 hlmTahun2022Pembelian BukuBeli Buku Disini 2. Buku Pengantar Dasar Matematika Buku ajar ini disusun berdasarkan rumusan CPL Capaian Pembelajaran Lulusan Program Studi Pendidikan Matematika dan rumusan Capaian Pembelajaran Mata Kuliah yang telah tertuang dalam RPS Rencana Pembelajaran Semester. Buku ajar ini terdiri atas dua topik utama yaitu Teori Himpunan dan Logika Matematika yang terbagi dalam 9 bab, yaitu bab 1 pengantar teori himpunan, bab 2 aljabar himpunan, bab 3 simbolisasi bahasa sehari-hari dalam notasi himpunan, bab 4 pengantar logika, bab 5 logika sentensial, bab 6 pengantar teori inferensi, bab 7 aturan inferensi, bab 8 ekuivalensi logis, dan bab 9 logika predikat. Spesifikasi Buku PenulisSri Suryanti, dan Dr. Irwani Zawawi, Muhammadiyah GresikKategoriBuku Referensi Bidang IlmuMatematikaISBN978-623-02-1394-6Ukuran14×20 cmHalamanxii, 165 hlmTahun2020Pembelian BukuBeli Buku Ini 3. Buku Matematika Berbasis Ms. Excel Buku Matematika Berbasis Ms Excel membahas materi berikut ini. 1 operator matematika berupa jenis operasi dalam matematika dan fungsi Ms Excel guna mempercepat perhitungan; 2 kurva, meliputi jenis kurva, pencocokan kurva, dan penyelesaian secara grafik, numerik, matriks sehingga menghasilkan persamaan yang digunakan dalam memprediksi, baik interpolasi maupun ekstrapolasi. 3 matriks berkaitan ordo n x m, yakni baris x kolom bertujuan memecahkan persamaan dan menentukan nilai variabel melalui metode ini; 4 solver dan goal seek memiliki fungsi dalam menentukan nilai variabel, tetapi berbeda sistem penyelesaian dengan ini dengan memecahkan solusi dengan trial and error dan mendapatkan nilai tertentu dengan mengetahui target terlebih dahulu yakni sistem goal seek; 5 limit atau batasan sangat berkaitan pada diferensial dan integral guna mengetahui luasan dengan strategi penyelesaian secara langsung atau substitusi, faktorial, mengalihkan sekawan, dan membagi dengan pangkat tertinggi. Spesifikasi Buku PenulisYuliani H. Negeri Ujung PandangKategoriBuku ReferensiBidang IlmuSains dan Teknol cmHalamanviii, 117 hlmTahun2021Pembelian BukuBeli Buku Ini 4. Buku Aljabar Linear Elementer Buat kamu yang ingin fokus belajar tentang aljabar, maka buku inilah yang direkomendasikan. Setidaknya di bab ini kamu akan mempelajari beberapa pembahasan tema, diantaranya mengulas tentang matriks, determinan dan sistem persamaan linear. Buat kamu yang juga ingin belajar tentang vektor juga bisa temukan jawabannya di sini, termasuk mempelajari ruang hasil kali dalam. Aljabar matrik sebenarnya sudah familiar sejak tahun 80 an di Inggris. Nah, disinilah kamu juga akan mempelajari tentang transformasi linear dan nilai eigen dan vektor eigen. Jika di paragraf di atas ada matriks dan determinan, keduanya sebenarnya memiliki hubungan yang saling mengisi. Sayangnya tidak semua matriks memiliki determinan, dan matriks bujur sangkar memiliki determinan. Spesifikasi Buku PengarangGandung Sugita dan AnggrainiKategoriBuku AjarBidang IlmuMatemat cmHalamanx, 285 hlmHargaRp. Terbit2018Pembelian BukuBeli Buku Ini 5. Buku Geometri Analitik Geometri Analitik Buku geometri Analitik karya Mahsup dan Abdillah termasuk buku modul yang mempelajari tentang lingkaran. Di buku ini akan membahas tiga kompetensi dasar geometri analitik. Pertama mempelajari unsur lingkaran beserta bagian yang memiliki keterkaitan. Kedua, akan mempelajari mempelajari cara menghitung keliling dan luas lingkaran, dan terakhir akan mengupas hubungan sudut pusat, luas jaringan, menghitung panjang busur. Buku terbitan Deepublish salah satu buku yang memang khusus didedikasikan untuk mempelajari tentang geometri analitik. Tujuannya agar peserta didik memahami konsep dan mampu menyelesaikan masalah dengan segala hal yang berhubungan dengan lingkaran. Spesifikasi Buku PengarangMahsup & AbdillahInstitusiUniversitas Muhammadiyah MataramKategoriBuku AjarBidang IlmuMatematikaISBN978-623-7022-30-5Ukuran14×20 cmHalamanviii, 62 Terbit 2018Pembelian BukuBeli Buku Ini 6. Buku Ajar Pengantar Analisis Variabel Real Revisi 2021 Rekomendasi buku matematika yang mungkin cocok kamu dapatkan adalah buku ini nih. Sebagai buku ajar, buku ini lebih cocok digunakan oleh mahasiswa yang mengambil jurusan matematika. Secara garis besar, buku ini akan membahas tentang materi logika matematika dan teori himpunan, termasuk juga metode pembuktian dalam matematika serta fungsi real. Jika kamu ingin mempelajari tentang sifat-sifat variabel real seperti sifat urutan, sifat lapangan dan mengetahui tentang nilai mutlak dan garis real, maka di bab dua bisa kamu temukan pembahasannya. Setidaknya selain membahas hal tersebut, akan dibahas pula tentang sifat kelengkapan, selang bersarang, aplikasi supremum dan infimum. Termasuk pula mempelajari representasi desimal loh. Lanjut ke level yang lebih serius lagi, akan membahas tentang konsep barisan dan limit. termasuk juga akan membahas tentang sub barisan, bolzano-weierstrass, barisan monoton dan barisan divergen. Ngomongin tentang barisan divergen, ada juga yang disebut dengan kriteria divergensi. Nah, di bab 4 kamu juga akan mempelajari kriteria divergensi tersebut. Termasuk juga akan mempelajari tentang limit fungsi di satu titik, teorema limit, perluasan konsep limit tak-hingga, prinsip apit limit fungsi di satu titik dan limit di tak-hingga dan masih banyak lagi yang akan dibahas di buku ini. Spesifikasi Buku PengarangYohanis Ndapa DedaInstitusiUniversitas TimorKategoriBuku AjarBidang IlmuMatemat x 25 cmHalamanx, 143 hlmTahun Terbit2021Pembelian BukuBeli Buku Ini 7. Buku Matematika Terapan Untuk Teknisi Matematika Terapan untuk Teknisi Rekomendasi buku matematika terapan, maka buku ini bisa kamu koleksi juga. Setidaknya di dalam buku inilah kamu akan belajar tentang kalkulus dan turunan dari diferensial dan integral, dimana dua ilmu tersebut sangat erat dengan dunia teknisi. Secara garis besar, buku ini akan membedah materi aritmatika. Tidak sekedar mengulas tentang sistem bilangan saja, tetapi juga akan mempelajari tentan konversi, operasi dari sistem bilangan. Termasuk pula akan membedah angka penting dan signifikan dalam dunia teknisi. Selain ilmu aritmatika, buku terapan untuk teknisi juga akan membahas tentang bilangan berpangkat dan logaritma. Nah, ketika mempelajari aljabar, kamu juga akan diarahkan mempelajari tentang transposisi, kuadrat, persamaan linear dan bilangan kompleks. Sebagai seorang teknisi tidak melulu menguasai ilmu aritmatika dan logaritma saja loh ternyata, tetapi juga mempelajari tentang ilmu geometri, trigonometri dan kalkulus diferensial dan integral. Spesifikasi Buku PengarangMoh. Hartono AjarBidang IlmuMatemat cm Halamanxxiv, 277 hlm,HargaRp 2019Pembelian BukuBeli Buku ini 8. Buku Defragmenting Struktur Berpikir Pseudo dalam Memecahkan Masalah Matematika Mempelajari matematika ternyata tidak ada habisnya. Salah satunya cabang ilmu matematika tentang defragmenting struktur berpikir pseudo dalam memecahkan matematika. Barangkali masih ada yang asing dengan istilah pseudo? Nah, di sini kamu juga akan mempelajari tentang pseudo. Barulah kamu akan mempelajari tentang defragmenting yang masih ada kaitannya dengan dunia komputer. Dari segi pesan, buku ini sebenarnya cocok untuk dibaca oleh siswa atau murid. karena buku ini mencoba untuk siswa yang mengalami kesulitan dalam belajar matematika dan membutuhkan solusi masalah limit fungsi. Kelebihan dari buku ini ditulis oleh penulis yang pernah pernah mengikuti olimpiade yang seringkali menemukan pola kesalahan yang terjadi. Sehingga solusi yang diberikan pas banget dengan yang dialami oleh pembaca di luar sana. Dari segi proporsi pembahasan, di bab ini banyak membahas tentang defragmenting. Mulai membahas tentang struktur berfikir defragmenting, efektivitas defragmenting, struktur berpikir defragmenting dan masih banyak lagi. Spesifikasi Buku PengarangKadek Adi Wibawa, AjarBidang IlmuMatematikaISBN cmHalamanx, 179 BukuBeli Buku Disini Itulah rekomendasi buku matematika yang bisa kamu koleksi. Sebenarnya masih banyak rekomendasi judul buku matematika. Ada buku untuk SMP, yang berjudul Matematika sekolah SMP, ada juga buku berjudul Aljabar linear dasar berbasis IT, Aljabar Linier, Aljabar matrik, Matematika geogebra, dasar-dasar kalkulus, jarimatika dan kalkulator dengan geogebra dan masih banyak lagi. Daripada penasaran dan bertanya-tanya, kamu bisa langsung spoiler di BUKU MATEMATIKA. Di jamin di sana ada banyak sekali rekomendasi buku matematika sesuai dengan keinginan kamu. Mulai dari buku untuk SMP, SMA hingga perguruan tinggi. Sampai buku matematika untuk guru atau tenaga pendidik juga. Kontributor Irukawa Elisa Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan semula. Diketahui buku matematika buku fisika buku kimia Gunakan konsep permutasi untuk menentukan berapa susunan yang mungkin jika buku yang sejenis saling berdampingan. Urutan buku fisika dan sisa buku Urutan buku fisika Urutan buku matematika dan kimia Maka banyak susunanya adalah Dengan demikian, banyak susunan yang mungkin jika buku yang sejenis saling berdampingan adalah . B A BA 7 C BC D BD ... ... ... dan pasangan 8 × 7 = 56. Gambar 8 benda atau unsur, yaitu A, B, C, D, E, F, G, dan H, dalam setiappasangan hanya digunakan 2 unsur saja. Masing-masing pasangan ini disebutpermutasi 2 dari 8 unsur tersebut. Banyaknya seluruh permutasi ini ditulis P8,2 JadiP8,2 = 8 × 7 = 56, P9,2 = 9 x 8 = 72. Kita dapat juga membuat susunan terdiri dari 3unsur dari 8 unsur tadi. Masing-masing susunan itu disebut permutasi 3 dari 8 umum permutasi dapat ditentukan sebagai berikut. , = ! − ! Permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi prinsip perkalian. Misalnyajumlah objek adalah n, maka urutan pertama dipilih dari n objek, urutan keduadipilih dari n – 1 objek, urutan ketiga dipilih dari n – 2 objek, begitu seterusnya danurutan terakhir dipilih dari 1 objek yang prinsip perkalian, permutasi dari n objek adalahnn – 1n – 2 … 21 = n! 47 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i tDefinisi PermutasiSusunan terurut yang terdiri dari r unsur berbeda yang diambil dari n unsur berbedar  n disebut permutasi r dari n unsur. Jika kita memiliki 8 unsur dan akan disusun secara terurut terdiri dari 8 unsur,berapa banyak susunan seluruhnya yang bisa kita buat? Dengan kata lain, berapaP8,8? Untuk menjawabnya, kita pilih unsur pertama, untuk ini kita mempunyai 8pilihan. Kemudian setelah unsur pertama kita tetapkan, kita pilih unsur kedua,untuk ini kita mempunyai 7 pilihan. Setelah unsur pertama dan kedua kita tetapkan,kita pilih unsur ketiga, untuk ini kita punya 6 pilihan. proses ini kita lanjutkansampai unsur ke 8 dari susunan dan untuk yang terakhir ini kita hanya punya 1pilihan. Jadi banyak susunan yang peroleh adalah 8×7×6×5×4×3×2×lJadi P8,8 = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × l = 8!n! dibaca n faktorial, yang nilainya n! = n × n – 1 × … × 3 × 2 × l .Dengan demikian, kita peroleh banyak permutasi dari n unsur berbeda, yaitu Pn Pn = n × n – 1 × … × 3 × 2 × l = n!Definisi Faktorialn faktorial ditulis n! = n × n – 1 × … × 3 × 2 × ldengan n bilangan asli, dan 0! = 1 = 1!Contoh 6 mahasiswa yg memenuhi syarat dan bersedia menjadi pengurusKerohanian Islam Rohis. Jika pengurus Rohis tersebut terdiri dari ketua, wakilketua, sekretaris dan bendahara, ada berapa macam susunan pengurus Rohis yangmungkin terbentuk?Jawaban 48 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i tPersoalan ini termasuk dalam persoalan mencari banyak susunan terdiri dari 4 unsuryang diambil dari 6 unsur. Oleh karena itu, yang akan kita tentukan adalah P6, itu, perlu dijelaskan/dilakukan hal-hal 6 mahasiswa yang dipilih sebagai ketua. Seandainya ketua telah dipilih, maka5 pilihan untuk wakil ketua. Jika ketua dan wakil ketua telah terpilih, maka ada 4pilihan untuk sekretaris. Jika ketua dan sekretaris telah dipilih, maka tinggal 3mahasiswa yang bisa dipilih untuk bendahara. Jadi banyaknya susunan pengurusyang mungkin 6 × 5 × 4 × 3 = 360. Perkalian 6 × 5 × 4 × 3 dapat diubah menjadibentuk faktorial sebagai  5  4  3  6  5  4  3  2 1  6!  6! 2 1 2! 6  4!Dengan demikian, P6,4  6! 6  4!Banyaknya PermutasiBanyaknya permutasi r benda berbeda diambil dari n benda adalah Pn,r  n n!  r!Kini kita akan mendalami kasus lain dari permutasi. Jika pada permutasi di atas kitamempunyai n benda yang berbeda. Sekarang kita akan melihat bila diantara n bendaitu ada yang sama. Yaitu misalkan di antara n benda ada n1 buah benda yang saman1  n. Maka di antara Pn,n1 permutasi, setiap n1! di antaranya adalah adalah sama,sehingga Pn,n1  n! . n1!Misalnya 3 unsur a1, a2, dan b. Maka macam permutasinya adalahPertama a1 a2 b dan a2 a1 bKedua a1 b a2 dan a2 b a1Ketiga b a1 a2 dan b a2 a1 49 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i tSetiap 2 permutasinya sama, sehingga Pn,n1  3!  3. 2!Sekarang, anadikan kita terdapat n benda yang terdiri dari k kelompok, dan setiapkelompok terdiri dari benda yang sama. Kelompok 1 beranggot n1, kelompok 2beranggota n2, dan seterusnya hingga kelompok k beranggota jumlah n = n1 + n2 + menggunakan hasil tersebut, kita perolehBanyaknya permutasi dari n benda terdiri k kelompok yang setiap kelompok ke-i 1 i  k mempunyai anggota yang sama sebanyak ni adalah Pn,ni  n! n1!n2!n3!... nk !Contoh banyak susunan 4 huruf yang diambil dari kata "MANA"JawabanDiketahui n = 4, banyak huruf M = n1, = 1, banyak huruf A = n2 = 2, dan banyakhuruf N = n3 = 1, sehingga Pn,ni  4!  12 . 1!2!1!Dengan demikian, banyak cara menyusun permutasi huruf pada kata “MANA”adalah 12 permutasi melingkar r unsur dari sebuah himpunan dengan n unsurberbeda adalah , ! = − !Khususnya, permutasi melingkar dari n unsur adalah n – 1! 50 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i tContoh 12 tanda-tanda khusus berbeda akan ditempatkan pada drum ini merupakan masalah permutasi melingkar dengan n = r = 12. dengandemikian banyaknya cara ada sebanyak 12,12 12!12 = 1212 − 12! 12! = 120! 12 × 11! = 12 = 11!D. KOMBINASI Bentuk khusus dari permutasi adalah kombinasi. Jika pada permutasi urutankemunculan diperhitungkan, maka pada kombinasi, urutan kemunculan urutan abc, acb, dan bca dianggap sama dan dihitung buku terdiri dari 5 bab. Anda hanya ingin membaca 3 bab saja. Ada berapabanyak cara yang bisa dilakukan untuk membaca buku tersebut?JawabanPersoalan ini termasuk dalam persoalan kombinasi yaitu mencari banyak susunan3 unsur dari 5 unsur berbeda tanpa memperhatikan urutannya. Misalkan bab yangakan dibaca tersebut adalah A, B, C, D dan E, kombinasi itu dapat diperoleh dengancara kita pilih A sebagai unsur pertama, B sebagai unsur kedua dan untukunsurke tiga ada tiga pilihan yaitu C, D atau E. Kemudian A sebagai unsur pertama,C sebagai unsur kedua, dan untuk unsur ketiga ada 2 pilihan yaitu D atau E. 51 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i tSelanjutnya A sebagai unsur pertama D sebagai unsur kedua dan E sebagai unsurketiga. Berikutnya B kita pilih sebagai unsur pertama C kedua dan D atau E C sebagai unsur pertama, D unsur kedua dan E atau A unsur kita memperoleh susunan kombinasi sebanyak 3 + 2 + 1 + 2 + 2 = yang lain dapat diperoleh dari 10 susunan ini dengan mengubah jika urutan tidak diperhatikan maka kita memperoleh 10 susunan kombinasitersebut. Untuk lebih jelasnya perhatikan Gambar berikut ini. Gambar di atas dapat juga diselesaikan sebagai berikut. Banyaknya permutasi terdiridari 3 unsur diambil dari 5 unsur berbeda adalah P5,3  5! . Akan tetapi 5  3!permutasi ini dapat dikelompokkan menjadi 3! = 6 kelompok yang setiap kelompokmemiliki anggota yang urutannya saja yang berbeda. Jadi setiap 3! permutasimerupakan satu kombinasi saja. Sehingga banyak kombinasi 3 dari 5 unsur itu yangdiberi simbol C5,3 adalah C5,3  5!  3!  5 43 21  10 . 5  3! 213 21 52 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i tBanyak Kombinasi r Unsur Diambil dari n Unsur BerbedaBanyak cara memilih r benda dari n benda yang berbeda tanpa memperhatikanurutannya yaitu banyaknya kombinasi r unsur diambil dari n unsur berbeda adalah Cn,r  n! n! n  r! Didefinisikan 0 ! = KombinasiBanyaknya kombinasi r unsur dari himpunan dengan n unsur dinotasikan denganCn,r atau Contoh cara menyusun warna baju tiga kali seminggu untuk pergi ke kantoradalah C7,3 = 7! = 35 cara. 3!4!E. PERMUTASI DAN KOMBINASI MULTI-HIMPUNAN Misal S sebuah multi-himpunan. Sebuah permutasi r di S adalah susunanterurut r unsur yang tidak harus beda di S. Jika banyaknya unsur S adalah n, makasebuah permutasi n di S merupakan suatu permutasi di S. Sebagai contoh, jika S ={ maka acbc dan cbcc adalah permutasi-4 di S. Sedangkan abcccaadalah permutasi-6 di S. Multi himpunan tidak mempunyai permutasi-7, karena 7> 2 + 1 + 3 = 6, yaitu banyaknya unsur di S multi-himpunan dengan k jenis objek berbeda. Jika masing-masingjenis objek memiliki bilangan pengulangan n1, n2, ..., nk dengan n = n1 + n2 + ... +nk maka banyaknya permutasi di S adalah ! ; 1, 2, … , = 1! 2! … ! 53 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i tContoh huruf-huruf dalam kata MISSISSIPPI merupakan permutasi multi-himpunan. Banyaknya permutasi adalah 11! 1! 4! 4! 2!Teorema S adalah multi-himpunan dengan k jenis objek berbeda, masing-masingbilangan pengulangannya tak hingga. Banyaknya kombinasi-r di S adalah Ck-1+r,rContoh cara memilih tiga dari tujuh hari yang disediakan pengulangandibolehkan adalah C7 + 3 – 1, 3 = C9, 3 = 84Teorema S adalah multi-himpunan dengan k jenis objek berbeda, masing-masingbilangan pengulangannya tak hingga. Banyaknya kombinasi-r di S jika masing-masing jenis harus diambil minimal 1 adalah Cr-1,k-1Contoh toko roti menjual 8 jenis roti. Bila kita membeli 12 buah roti dengan setiapjenisnya minimal 1 buah, kemungkinannya adalah C12-1, 8-1 = C11, 7 = 330F. KOEFISIEN BINOMIALBilangan Cn, k atau merepresentasikan bilangan kombinasi k dari himpunandengan n binomial didefinisikan untuk semua bilangan bulat tak negative kdan n. Jika k > n maka = 0. Juga untuk semua n, 0 = 1. Jika n positif dan1 ≤ k ≤ n, maka = ! = − 1 … − + 1 − − 1 … 1 ! ! 54 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i tTeorema binomial memberikan cara untuk menjabarkan bentuk perpangkatan x +yn , yang dalam hal ini n adalah bilangan bulat BinomialMisalkan n bilangan bulat positif. Untuk semua x dan y berlaku + = ∑ − =0Dari koefisien binomial untuk n dan k bilangan bulat positif diperoleh identitas-identitas = − 11 −2. 0 + 1 + 2 + ⋯ + = 2 3. 0 − 1 + 2 − ⋯ + −1 = 04. 1 1 + 2 2 + ⋯ + = . 2 −15. + 12 −2 = ∑ =1 2 Contoh 04 + 14 + 24 + 43 + 44 dengan menggunakan identitas dengan identitas koefisien binomial yaitu 0 + 1 + 2 + ⋯ + = 2 Maka, 04 + 14 + 24 + 34 + 44 = 24 04 + 41 + 24 + 43 + 44 = 16Teorema MultinomialMisalkan n bilangan bulat positif. Untuk semua x1, x2, ..., xt x1 + x2 + ... + xt n = ∑ 1 1 1 2 2 … 2 … 55 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i tdimana bentuk terakhir diperluas untuk semua barisan bilangan bulat tak negatif n1,n2, ..., nt dengan n1 + n2 + nt = nContoh 13 2 32 pada bentuk 2x1 – 3x2 + 5x36 adalah 3 6 2 23−352 = 6! 1 3! 1! 2! 8−325 = 6 ×5 ×4× 3! 600 3! 1! 2! 6×5×2 = 1 600 = −36000Teorema Teorema Binomial-NewtonUntuk suatu z dengan z 0. Banyak solusi bulat positif darix1 + x2 + … + xr = n, xi > 0adalahCn – 1, r – 1Akibat n adalah bilangan bulat positif n > 0. Banyak solusi bulat non negatifuntuk yi ≥ 0y1 + y2 + … + yr = n,adalahCn + r – 1, r – 1Contoh 5 orang dalam lift yang memiliki 8 lantai. Berapa banyak cara merekadapat memilih lantai untuk keluar lift?Penyelesaianx1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 = 5, xi ≥ 0Banyak solusiC5 + 8 – 1, 8 – 1 = C12, 7 12! = 7! 5! 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7! = 7! × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 12 × 11 × 3 × 2 = 792 57 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i tRANGKUMAN1. Banyaknya permutasi dari n benda yang berbeda diambil r benda sama denganPn,r  n n! .  r!2. Banyaknya permutasi n benda yang terdiri k kelompok dan setiap kelompok ke- i 1  i  k mempunyai anggota yang sama sebanyak ni,maka Pn,ni  n! n1!n2!n3!... nk !3. Banyak cara memilih r benda dari n benda yang berbeda tanpa memperhatikanurutannya yaitu banyaknya kombinasi r unsur diambil dari n unsur yangberbeda adalah Cn,r  n! . n  r!  n!LATIHAN 31. Kota Impian terdiri dari beberapa lorong yang digambarkan sebagai garis-garis pada gambar di bawah ini. Tentukan berapa banyak jalur terpendek dari A ke B seperti pada gambar berikut ini! B Kota Impian A2. Seperti nomor 1, namun di Kota Impian tersebut telah dibangun taman kota yang digambarkan sebagai daerah yang diarsir. Maka tentukan banyak jalur terpendek yang dapat dilalui dari A ke B, jika Anda tidak boleh melalui atau menembus taman kota tersebut! 58 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i tB Kota Impian A3. Seorang siswa diminta untuk menyelesaikan 5 dari 6 soal ulangan, akan tetapi soal nomor 1 harus dipilih. Tentukan banyaknya pilihan yang dapat diambil oleh siswa tersebut!JAWABAN LATIHAN 31. Dengan cara apapun Anda mencoba, maka Anda akan memperoleh jalur terpendek dari A ke B dengan melangkah 4 kali ke kanan dan 5 kali ke atas. Mengapa demikian? Karena untuk mendapatkan jalur terpendek, Anda tidak bisa berbalik arah ke kiri maupun ke bawah. Misalnya arah Kanan = K, dan Atas = A. B A Sehingga salah satu contoh jalur terpendek dari A ke B adalah K,K,K,K,A,A,A,A,A, atau A,A,A,A,A,K,K,K,K, atau K,A,K,A,K,A,K,A,A. Ini mengandung arti bahwa ada 9 langkah di mana 4 langkahnya harus ke kanan. 59 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i tDengan demikian kita akan menyususun 4 unsur dari 9 unsur yang adamenggunakan kombinasi, yaituC9,4  9 9!  126  4!.4!Atau jika Anda mengartikan bahwa untuk jalur terpendek dari A ke B adalahmelalui 9 langkah di mana 5 langkahnya harus ke atas, maka kita akanmenyusun 5 unsur dari 9 unsur sebagai berikutC9,5  9 9!  126  5!.5!2. Nampaknya masalah pada nomor 2 ini lebih rumit jika dibandingkan dengan nomor 1. Untuk mengetahui berapa banyak jalur terpendek dari A ke B, tanpa melalui daerah yang diarsir, berarti kita harus mengetahui berapa cara dari A ke B melalui P, Q, R, S, T, dan ke P, lalu P ke B = C6,1  C3,0  6 1  6A ke Q, lalu Q ke R, lalu R ke B = C4,1  C2,1  C3,1  4  2  3  24A ke S, lalu ke B = C5,2  C4,1  10  4  40A ke T, lalu ke B = C5,1  C4,0  5 1  5Dengan demikian, banyaknya jalur terpendek dari A ke B tanpa melalui tamankota daerah yang diarsir adalah = 6 + 24 + 40 + 5 = 75 jalur terpendek. 60 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t3. Dari 6 soal yang tersedia diambil 5 soal tanpa memperhatikan urutannya dansoal nomor 1 harus dipilih. Ini berarti hanya tinggal 5 soal yang akan diambil 4soal saja, sehingga banyaknya pilihan yang dapat diambil oleh siswa tersebutadalah C5,4  5!  120 5 pilihan. 5  4!.4! 1 24TES FORMATIF 31. Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri atas tiga angka yang dapat disusun dari himpunan A = {1, 2, 3, 4, 5}!2. Terdapat 20 siswa dalam satu kelas. Jika setiap siswa besjabat tangan pada saat bertemu dan berpisah, maka tentukan berapa banyak jabat tangan yang terjadi!3. Ada 8 mahasiswa hendak mengadukan persoalannya kepada Dosen Pembimbing Akademiknya. Akan tetapi 2 di antaranya sudah menjalani proses bimbingan. Tentukan banyak cara mereka Terdapat 5 buku berbahasa Indonesia, 6 buku berbahasa Inggris, dan 7 buku berbahasa Arab. Bila dipilih 2 buku dari 2 bahasa yang berbeda, hitunglah banyaknya kemungkinan yang Tentukan banyaknya jalur terpendek dari A ke B pada gambar di bawah ini B A6. Dalam permainan sepakbola ada empat kategori pemain yaitu depan, tengah, belakang dan penjaga gawang. Persib dalam menghadapi Persipura, menggunakan sistem 1-4-4-2 gawang, belakang, tengah, depan. Jika tersedia 61 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t2 penjaga gawang, 7 belakang, 7 tengah, 5 depan, ada berapa kemungkinan kesebelasan yang bisa dibentuk?7. Seperti pada konteks soal nomor 6, tentukan berapa peluang terpilihnya seseorang untuk dijadikan pemain inti?8. Dalam suatu perkumpulan akan dipilih perwakilan yang terdiri dari 6 orang. Calon yang tersedia terdiri dari 5 orang pria dan 4 wanita. Banyaknya susunan perwakilan yang dapat dibentuk jika sekurang-kurangnya terpilih 3 pria adalah...9. Carilah koefisien 12 23 3 42 dalam ekspansi 1 − 2 + 2 3 − 2 4810. Hitunglah jumlah solusi persamaan 1 + 2 + 3 = 14 dalam bilangan bulat tak negative yang tidak melebihi 8 62 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i tREFERENSIBryant, V. 1993. Aspectcs of Combinatorics A Wide Ranging introduction. Cambridge Cambridge University 1992. A Framework for Evaluating the Teaching of Critical Thinking. Education 113 1 1972. Introduction to Logic. New York 1979. Modern Algebra. New York John Wiley & M. 1971. Effective Teaching Strategies With the Behavioral Outcomes Approach. New York Parker Publishing Company, S. 1981. Set Theory and Related Topics. Schaum Outline Series. Singapore McGraw Hill International Book 1980. Berhitung, Sejarah, dan Pengembangannya. Jakarta PT. dan Varberg, D. 1996. Kalkulus dan Geometri Analitis. Jakarta 1984. Dasar-dasar Matematika Modern untuk Guru. Bandung 1991. Pengantar kepada Membantu Guru Mengembangkan Potensinya dalam Pengajaran Matematika untuk Meningkatkan CBSA. Bandung D. 2005. Penggunaan Pendekatan Pembelajaran Tidak Langsung serta Pendekatan Gabungan Langsung dan Tidak Langsung dalam Rangkan Meningkatkan Kemampuan Berpikir Matematik Tingkat Tinggi Siswa SLTP. Disertasi Program Pascasarjana Universitas Pendidikan Indonesia. Bandung Tidak 2002. Modern Geometry. California, USA Pacific 1992. Modern Mathematics. Belmont, CA Wadsworth. 63 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i tBAB IVFUNGSI PEMBANGKIT 64 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i PENDAHULUAN Fungsi Pembangkit adalah salah satu metode yang dapat digunakan untukmenyelesaikan permasalahan. Dengan men-translasi persoalan ke dalam duniaFungsi Pembangkit, maka kita dapat menggunakan sifat-sifat khusus dari FungsiPembangkit sebagai jalan untuk memecahkan masalah. Fungsi Pembangkit ini bisakita perlakukan sebagaimana fungsi-fungsi pada umumnya. Misal saja melakukanoperasi diferensial. Hal ini membuat ada yang beranggapan bahwa FungsiPembangkit merupakan jembatan antara matematika diskrit dan kontinu. FungsiPembangkit memiliki banyak penggunaan, misalnya untuk menyelesaikanpermasalahan rekurensi, counting, membuktikan identitas kombinatorika, maupunaplikasi-aplikasi lain yang beragam. Dalam penerapannya, banyak metode yangmenggunakan Fungsi Pembangkit sebagai senjata utama penyelesaian masalah,misal “The “Snake Oil”Method”, “The Sieve Method”, dan lain-lain. Dalam menyelesaikan permasalahan, ada banyak sekali pilihan metode ataupendekatan yang dapat dipergunakan. Misalnya saja, tentang metode bisa menggunakan metode reductio ad absurdum yang memanfaatkan faktabahwa hanya salah satu dari P atau negasi P yang benar. Ada lagi metodekontraposisi. Metode ini memanfaatkan pernyataan yang ekivalen antara P → Qdan Qu → P′. Bisa juga kita menggunakan Prinsip Induksi Matematika, ataubeberapa metode lainnya. Seperti halnya dalam matematika diskrit. Ada banyak metode yang dapatkita pergunakan dalam menyelesaikan permasalahannya. Fungsi Pembangkit inilayaknya sebuah jembatan yang menghubungkan Matematika diskrit dan kontinu,khususnya pada bagian teori variabel kompleks. 65 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i tDalam modul ini akan dibahas fungsi pembangkit biasa, menghitungkoefisien pada fungsi pembangkit, dan fungsi pembangkit eksponen, dengan tujuanpembelajaran khususnya adalah mahasiswa dapat 1. menjelaskan konsep deret kuasa. 2. menjelaskan definisi dari fungsi pembangkit biasa 3. mengidentifikasi identitas polinom fungsi pembangkit biasa 4. menentukan koefisien pada fungsi pembangkit biasa 5. menjelaskan definisi dari fungsi pembangkit eksponen 6. mengidentifikasi identitas polinom fungsi pembangkit eksponen 7. menentukan koefisien pada fungsi pembangkit eksponen Untuk membantu Anda dalam mempelajari modul 4 ini, silakan perhatikanbeberapa petunjuk belajar berikut ini1. Bacalah dengan teliti bagian pendahuluan ini sampai Anda memahami secara tuntas tentang apa, untuk apa, dan bagaimana mempelajari modul 4 Bacalah sepintas bagian demi bagian dan temukan kata-kata kunci dari kata-kata yang dianggap baru. Carilah pengertian kata-kata kunci tersebut dalam kamus atau ensiklopedia yang Anda Tangkaplah pengertian demi pengertian melalui pemahaman sendiri dan tukar pikiran dengan mahasiswa lain atau dengan tutor Untuk memperluas wawasan, baca dan pelajari sumber-sumber lain yang relevan. Anda dipersilakan untuk mencari dan menggunakan berbagai sumber, termasuk dari Mantapkan pemahaman Anda dengan mengerjakan latihan dan melalui kegiatan diskusi dalam kegiatan tutorial dengan mahasiswa lainnya atau dengan teman Jangan lewatkan untuk mencoba menyelesaikan setiap permasalahan yang dituliskan pada setiap akhir kegiatan belajar. Hal ini berguna untuk mengetahui apakah Anda sudah memahami dengan benar kandungan modul belajar! Tetaplah bersemangat!Ingatlah, kemampuan yang Anda miliki sebenarnya jauh lebih hebat daripada yangAnda pikirkan! 66 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i URAIAN MATERIA. FUNGSI PEMBANGKIT BIASA Fungsi pembangkit generating function dari sebuah fungsi numerik an=a0, a1, a2,… , ar, … adalah sebuah deret tak hingga Az = a0 + a1 z + a2 z2 + a3 z3 + … + an zn + … . ingat 1  1  z  z 2  z 3  z 4  z 5  ......... deret 1 zmaclourenPada deret tersebut, pangkat dari variabel z merupakan indikator sedemikianhingga koefisien dari zn adalah harga fungsi numerik pada n. Untuk sebuah fungsinumerik an digunakan nama Az untuk menyatakan fungsi = 0, 1, 2, … , , … adalah suatu barisan pembangkit biasa FPB dari barisan didefinisikan sebagai berikut ∞ = ∑ = 0 + 1 + 2 2 + ⋯ =0Barisan terhingga 0, 1, 2, … , dapat dipandang sebagai barisan tak terhingga 0, 1, 2, … , , … , +1, +2, … dengan +1 = +2 = ⋯ = 0. Sebuah fungsipembangkit biasa dapat pula diasosiasikan dengan sebuah barisan terhingga daribilangan-bilangan. Jika barisan bilangan adalah tidak terhingga, kitaasumsikan bahwa kita telah memilih x sedemikian sehingga x membuat bentuk diatas barisan dari FPB 67 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i tPenyelesaian 2 3 = 1 + + 2! + 3! + ⋯ 2 3 = 1 + + 2! + 3! + ⋯ 11 = 1,1, , 2! , 3! , … Contoh fungsi numerik gn = 3n , n  0. Fungsi numerik tersebut dapat pula ditulissebagai gn = 1, 3, 32, 33, … .Fungsi pembangkit dari fungsi numerik gn tersebut adalah Gz = 1 + 3 z + 32 z2 + 33 z3 + … 3n zn + …yang dalam bentuk tertutup dapat ditulis sebagai Gz = 1  1  3z Jika fungsi numerik c merupakan jumlah dari fungsi numerik a dan b, makafungsi pembangkit dari fungsi numerik c tersebut adalah Cz = Az + Bz,dimana Az merupakan fungsi pembangkit dari fungsi numerik a dan Bz adalahfungsi pembangkit dari fungsi numerik fungsi numerik gn = 3n , n  0 dan fungsi numerik hn = 2n, n  jn = gn + hn , maka Jz = 1 + 1 yang dapat pula ditulis sebagai 1  3z 1 2zJz = 2  5z  1  5z  6z2 68 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i tContoh fungsi pembangkit dari fungsi numerik a adalah Az = 2 . 1 4z2Fungsi pembangkit tersebut dapat ditulis sebagai Az = 1 + 1 . 1 2z 1 2zDengan demikian diperoleh fungsi numerik an an = 2n + -2n , n  0atau dapat ditulis sebagai an = 0 n ganjil  2n 1 n genap Jika Az merupakan fungsi pembangkit dari fungsi numerik an, makaziAz adalah fungsi pembangkit dari Sia , untuk i bilangan bulat Fungsi Pembangkit Biasa FPB dari barisan 1 , 1 , 1 , … 4! 5! 3!PenyelesaianMisalkan adalah FPB dari = 1 , 1 , 1 , … 4! 5! 3!Dengan menggunakan definisi FPB, diperoleh ∞ = ∑ = 0 + 1 + 2 2 + ⋯ =0 = 1 0 + 1 + 1 2 + ⋯ 3! 4! 5! Metode fungsi pembangkit dapat digeneralisasi bagi bilangan bulat n untukmenentukan banyaknya penyelesaian bilangan bulat bagi persamaan 1 + 2 + 3 + ⋯ + = Dengan pembatasan pada tiap yaitu 1 ≤ i ≤ n. 69 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i tMisalkan kita ingin memilih 4 objek dari satu himpunan yang terdiri dari 5 tipeobjek, dimana tipe 1, 2, dan 3 masing-masing 1 objek, dan tipe 4 dan 5 masing-masing 2 objek. Masalah ini ekivalen juga dengan masalah distribusi 4 objek yangsama ke dalam 5 kotak berbeda, dimana kotak 1, 2, dan 3 paling banyak 1, kotak 4dan 5 paling banyak umum, dapat dituliskan 1 + 31 + + 22. Bentuk ini sama denganmenentukan banyaknya solusi bulat dari persamaan 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = Dengan 0 ≤ 1 , 2, 3 ≤ 1 dan 0 ≤ 4 , 5 ≤ 2Contoh kita ingin menentukan fungsi pembangkit untuk ar, yaitu banyaknya caramemilih r bola dari setumpuk bola yang terdiri atas 3 bola hijau, 3 bola putih, dan3 bola emas. Masalah ini dapat dimodelkan sebagai banyaknya solusi bilanganbulat. 1 + 2 + 3 + 4 = , 0 ≤ ≤ 3Disini 1 merepresentasikan jumlah bola hijau yang dipilih, 2 jumlah bola putihyang dipilih, 3 jumlah bola biru yang dipilih, dan 4 jumlah bola emas yang fungsi pembangkitnya 0 + 1 + 2 + 34 = 1 + 1 + 2 + 34B. MENGHITUNG KOEFISIEN PADA FUNGSI PEMBANGKIT BIASA Kita akan mengembangkan teknik-teknik aljabar untuk menghitung koefisienfungsi pembangkit. Teknik-teknik tersebut adalah dengan mereduksi fungsipembangkit yang diberikan menjadi fungsi pembangkit dengan tipe binomial atauhasilkali dari fungsi pembangkit dengan tipe binomial. Berikut ini adalah semuaidentitas polinom dan ekspansi polinom yang 1− +1 = 1 + + 2 + ⋯ + 1− 70 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t2. 1 = 1 + + 2 + ⋯ 1− 3. 1 + = 1 + 1 + 2 2 + ⋯ + + ⋯ + 4. 1 − = 1 − 1 + 2 2 − ⋯ + −1 + ⋯ + −1 5. 1 = ∑0∞ + − 1 1− 6. Jika hx =fxgx, dimana fx= 0 + 1 + 2 2 + ⋯ dan gx= 0 + 1 + 2 2 + ⋯ maka ℎ = 0 0 + 1 0 + 0 1 + 2 0 + 1 1 + 0 2 2 + ⋯ + 0 + −1 1 + −2 2 + ⋯ + 0 + ⋯ 7. Koefisien pada 1 + + 2 + ⋯ adalah Cr+n-1,r = + − 1 Sebagai latihan silahkan pembaca membuktikan polinom koefisien x16 pada 2 + 3 + 4 + ⋯ 2 + 3 + 4 + ⋯ 5 = [ 21 + + 2 + ⋯ ]5 = 101 + + 2 + ⋯ 5 = 10 1 1 5 − = 10. 1 1 − 5Karena x16 = berarti mencari koefisien x16 pada 2 + 3 + 4 + ⋯ 5 samadengan mencari koefisien x6 pada 1 yaitu 1− 55 + 6 − 1 = 160 Identitas 7 6 10! = 6! 4! 71 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t10 × 9 × 8 × 7 × 6! = 6! × 4 × 3 × 2 × 1 = 10 × 3 × 7 = 210Jadi, koefisien x16 pada 2 + 3 + 4 + ⋯ 5 adalah cara memilih 25 mainan dari 7 tipe mainan dimana tiap tipe antara 2dan 6 sama dengan mencari koefisien x25 dari fungsi pembangkit. 2 + 3 + 4 + 5 + 67Penyelesaian 2 + 3 + 4 + 5 + 67 = [ 21 + + 2 + 3 + 4]7 = 141 + + 2 + 3 + 47Sekarang tinggal mencari koefisien x11 pada 1 + + 2 + 3 + 47. Denganmenggunakan identitas 1 diperoleh.1 + + 2 + 3 + 47 = 1 − 5 7 1 − = 1 − −71 − 57Misalkan fx = 1 − −7dan gx = 1 − 57, dengan menggunakan ekspansi 5dan 4 diperolehfx = 1 − −7 = 1 + 1 + 7 − 1 + 2 + 7 − 1 2 + ⋯ + + 7 − 1 + 1 2 ⋯gx = 1 − 57 = 1 − 17 5 + 72 10 − ⋯ − −1 7 5 − ⋯ − 77 35untuk mencari koefisien x11 pada 1 + + 2 + 3 + 47, kita hanyamembutuhkan bentuk a11-ibi dalam ekspansi 6 yaitu 72 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t 11 0 + 6 5 + 1 10 = 11 +7 − 1 . 1 + 6 + 7 − 1 . − 17 + 1 + 7 − 1 . 72 1 1 1 = 117 − 112 17 + 17 27 17! 12! 7! 7! 7! = 1! 16! − 1! 11! . 1! 6! + 1! 6! . 2! 5! 17 × 16! 12 × 11! 7 × 6! 7 × 6! 7 × 6 × 5! = 1! 16! − 1! 11! . 1! 6! + 1! 6! . 2 × 1 × 5! = 17 − 12 × 7 + 7 × 21 = 17 − 84 + 147 = 80C. FUNGSI PEMBANGKIT EKSPONEN Dalam hal penyusunan objek-objek seringkali urutan menjadi sangat penting,sehingga diperlukan fungsi pembangkit lain yang bisa membantu solusinya. Fungsipembangkit ini disebut fungsi pembangkit eksponen. Untuk mengembangkanfungsi pembangkit eksponen ini akan banyak memakai teorema binomial Newton. Fungsi pembangkit eksponen digunakan untuk model-model menyelesaikanmasalah menyusun dan distribusi objek-objek berbeda. Karena urutan menjadi halyang diperhatikan, maka perhatian kita pada masalah permutasi. Kita notasikanbanyaknya permutasi k unsur dari n unsur dengan Pn, k.Definisi barisan bilangan real 0, 1, 2, … = 0 + 1 + 2 2 + 3 3 + ⋯ = ∞ 2! 3! ! ∑ =0disebut fungsi pembangkit eksponensial bagi barisan tersebut. 73 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i tContoh fungsi pembangkit eksponensial dari barisan berikut5,3,5,3,5,...Penyelesaian = ∑∞ =0 = 5 + 3 ∙ + 5 ∙ 2 + 3 ∙ 3 + 5 ∙ 4 ! 2! 3! 4! 2 4 3 = 5 + 5 ∙ 2! + 5 ∙ 4! + ⋯ + 3 + 3 ∙ 3! + ⋯ 2 4 3 5 = 5 1 + 2! + 4! + ⋯ + 3 + 3! + 5! + ⋯ + − − − = 5 2 +3 2 5 + 5 − + 3 − 3 − =2 8 + 2 − =2 = 4 + − Contoh jika Fungsi Pembangkit Eksponensial barisan dan adalahbilangan bulat = 3 2−3 b. = 1+2 + 2 3 c. = 1+ 1+ −6 2 Penyelesaian a. = 3 2−3 = 3 1 2−3 = 3 2 − 3 −1 74 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t= ∑ ∞ =03 2 − 3 −1 ! = 1 + 3 + 32 2 + 33 3 + ⋯ 2 − 3 −1 2! 3! = 2 − 3 + 2 − 3 3 + 2 − 3 2 + ⋯ 2! = 2 − 3 + 6 − 9 2 + 2 2 − 3 3 + ⋯ 2! 3! = 2 + 3 − 9 + 2 2 + ⋯ 2! Sehingga diperoleh = 2, 3, 9 + 2 2!b. = 1+2 + 2 3 = −3 1 + 2 + 2 = 3 − 3 − 3 2 − 3 2 − ⋯ 1 + 2 + 2 + ⋯ 2! 3! = 4 − − 3 + 1 2 − 3 3 2! 3! Sehingga diperoleh = 4, −1, 3 , − 3 , … 2! 3!c. = 1+ 1+ −6 2 = 1 + 1 + − 6 2 = 1 + 1 + + 2 + 3 + ⋯ 1 + − 6 2 2! 3! = 2 + + 2 + 3 + ⋯ 1 + − 6 2 2! 3!Contoh beberapa cara untuk membagi buah apel yang identik kepada anak,sedemikian hingga;a. Setiap anak memperoleh paling sedikit 5 apelb. Setiap anak mendapat tidak lebih dari 100 dan tidak kurang dari 10 apel 75 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i tPenyelesaiana. Setiap anak memperoleh paling sedikit 5 apel = 5 + 6 + 7 + … = [ 5 1 + + 2 + 3 + 4 + … ] = 5 1 1− = 5 1 − − = 5 ∑ ∞ =0 + − 1 = ∑ ∞ =0 + − 1 +5 b. Setiap anak mendapat tidak lebih dari 100 dan tidak kurang dari 10 apel. = 10 + 11 + 12 + … + 100 = [ 10 1 + + 2 + 3 + … + 90] = 10 1 − 91 1 − − = 10 1 − 91 ∑∞ =0 + − 1 = 1 − 91 ∑ ∞ =0 + − 1 +10 Contoh kita akan menentukan fungsi pembangkit eksponen untuk ar , banyaknyasusunan berbeda dari r objek yang dipilih dari 4 tipe objek berbeda, dengan setiaptipe objek muncul paling sedikit 2 dan paling banyak kita ingin mencari koefisien dari fungsi pembangkit eksponen ! 2 3 4 5 4 2! + 3! + 4! + 5! Beberapa identitas ekspansi untuk fungsi pembangkit eksponen selengkapnyaadalah sebagai = 1 + + 2 + 3 + ⋯ = ∑∞ =0 ! 2! 3!2. = 1 + + 2 2 + 3 3 + ⋯ + + ⋯ 2! 3! ! 76 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t3. − 1 − = 2 + 3 + ⋯ 2! 3!4. 1 + − = 1 + 2 + 4 + 6 + ⋯ 2 2! 4! 6!5. 1 − − = 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ 2 3! 5! 7!6. Koefisien adalah !Contoh berapa banyak cara menempatkan 25 orang dalam tiga ruangan denganpaling sedikit 1 orang tiap pembangkit eksponen untuk masalah diatas adalah sebagai berikut + 2 + 3 + ⋯ 3 = − 13 2! 3! = 3 − 3 2 + 3 − 1Untuk mencari banyaknya cara menempatkan 25 orang dalam 3 ruangan denganpaling sedikit 1 orang tiap ruangan dapat diperoleh dengan cara mencari koefisiendari 25 pada 25! 3 − 3 2 + 3 − 1Dengan menggunakan identitas 2, maka diperoleh 3 − 3 2 + 3 − 1 = ∞ 3 − 3 ∞ 2 + 3 ∞ − 1 ! ! ! ∑ ∑ ∑ =0 =0 =0 = ∞ − 3. 2 + 3 − 1 ! ∑3 =0Sehingga, koefisien dari 25 adalah 325 − 3. 225 + 3 25! 77 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i tRANGKUMAN1. Misalkan = 0, 1, 2, … , , … adalah suatu barisan bilangan. Fungsi pembangkit biasa FPB dari barisan didefinisikan sebagai berikut ∞ = ∑ = 0 + 1 + 2 2 + ⋯ =02. Identitas polinom dan ekspansi polinom yang dipergunakan pada fungsipembangkit biasa1 1− +1 = 1 + + 2 + ⋯ + 1− 2 1 = 1 + + 2 + ⋯ 1− 3 1 + = 1 + 1 + 2 2 + ⋯ + + ⋯ + 4 1 − = 1 − 1 + 2 2 − ⋯ + −1 + ⋯ + −1 5 1 = ∑∞0 + − 1 1− 6 Jika hx =fxgx, dimana fx= 0 + 1 + 2 2 + ⋯ dan gx= 0 + 1 + 2 2 + ⋯ maka ℎ = 0 0 + 1 0 + 0 1 + 2 0 + 1 1 + 0 2 2 + ⋯ + 0 + −1 1 + −2 2 + ⋯ + 0 + ⋯7 Koefisien pada 1 + + 2 + ⋯ adalah Cr+n-1,r = + − 1 3. Untuk barisan bilangan real 0, 1, 2, … = 0 + 1 + 2 2 + 3 3 + ⋯ = ∞ 2! 3! ! ∑ =0disebut fungsi pembangkit Identitas polinom dan ekspansi polinom yang dipergunakan pada fungsipembangkit eksponen yaitu1 = 1 + + 2 + 3 + ⋯ = ∑∞ =0 2! 3! !2 = 1 + + 2 2 + 3 3 + ⋯ + + ⋯ 2! 3! ! 78 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t3 − 1 − = 2 + 3 + ⋯ 2! 3!4 1 + − = 1 + 2 + 4 + 6 + ⋯ 2 2! 4! 6!5 1 − − = 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ 2 3! 5! 7!6 Koefisien adalah !Latihan 41. Tentukan fungsi pembangkit dari ar = 2 + 3 r+1 .  r jika r genap  jika r ganjil  22. Tentukan fungsi pembangkit dari fungsi ar = - r 23. Tentukan fungsi numerik dari fungsi pembangkit a. Az = 2 1  2z b. Bz = 2  z 1 2z 2 1 z c. Cz = 2 4  4z  z4. Berapa banyak cara untuk mendistribusikan 25 bola identik ke dalam 7 kotakberbeda, jika kotak pertama dapat diisi paling banyak 10 bola dan bola-bolayang lain dapat dimasukkan pada setiap 6 kotak Tentukan fungsi pembangkit eksponen bagi tiap barisan berikut a. 1, a, a2, a3, ... b. 1, b2, b4, b6, ...6. Tuliskan barisan yang dibentuk oleh fungsi pembangkit eksponen berikuta. = 4 2 b. = 2 + 2 1−3 79 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i tREFERENSI1. Cohen, Daniel I. A. 1978 . Basic Techniques Of Combinatorial Theory. John Wiley & Wilf, Herbert S. 1989. Generating functionology. Department of Mathematics University of Varberg, Dale. 2003. Calculus 8th Edition. Prentice Hall, 12/11/20095. Sutarno, Heri, dkk. 2005. Matematika Diskrit. IKIP Malang UM Press6. Munir, Rinaldi. 2010. Matematika Diskrit. Bandung Informatika Bandung7. Bondy and R. Murty. 1976. Graph Theory with Applications. Rosen, Discrete Mathematics and Applications, McGraw-Hill, New York, 7th Edition, 2012 80 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i tBAB V RELASI PENDAHULUAN Relasi rekursif recurrence relation juga dinamakan persamaan bedadifferent equation. Kiranya jelas bahwa menurut relasi rekursif itu, kita dapatmengerjakan perhitungan setahap demi setahap untuk menentukan dari −1, −2, … untuk menentukan +1 dari 0, 1, … , −1 dan begitu seterusnya,asalkan nilai fungsi di satu lebih titik diketahui sehingga komputasi bisa awal yang diketahui itu dinamakan syarat batas. Setelah memodelkansuatu masalah kedalam bentuk relasi rekursif langkah selanjutnya adalahmenyelesaikan relasi rekursif tersebut. Setelah mempelajari Modul 5 ini, secara umum mahasiswa dapatmemahami konsep dan penerapan dari relasi rekursif homogen dan non homogen,serta keterkaitannya dengan bagian matematika yang lain dan kehidupan sehari-hari, sedangkan lebih khusus mahasiswa diharapkan dapat1. Menjelaskan definisi relasi rekursif Membedakan relasi rekursif homogen dan non homogen3. Menyelesaikan solusi umum dari relasi rekursif homogen dan non Menyebutkan keterkaitan model relasi rekursif homogen dan non homogen serta fakta sehari-hari Untuk membantu Anda dalam mempelajari modul 5 ini, silakan perhatikanbeberapa petunjuk belajar berikut ini1. Bacalah dengan teliti bagian pendahuluan ini sampai Anda memahami secara tuntas tentang apa, untuk apa, dan bagaimana mempelajari modul 5 ini. 81 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t2. Bacalah sepintas bagian demi bagian dan temukan kata-kata kunci dari kata- kata yang dianggap baru. Carilah pengertian kata-kata kunci tersebut dalam kamus atau ensiklopedia yang Anda Tangkaplah pengertian demi pengertian melalui pemahaman sendiri dan tukar pikiran dengan mahasiswa lain atau dengan tutor Untuk memperluas wawasan, baca dan pelajari sumber-sumber lain yang relevan. Anda dipersilakan untuk mencari dan menggunakan berbagai sumber, termasuk dari Mantapkan pemahaman Anda dengan mengerjakan latihan dan melalui kegiatan diskusi dalam kegiatan tutorial dengan mahasiswa lainnya atau dengan teman Jangan lewatkan untuk mencoba menyelesaikan setiap permasalahan yang dituliskan pada setiap akhir kegiatan belajar. Hal ini berguna untuk mengetahui apakah Anda sudah memahami dengan benar kandungan modul belajar! Tetaplah bersemangat!Ingatlah, kemampuan yang Anda miliki sebenarnya jauh lebih hebat daripada yangAnda pikirkan! 82 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i URAIAN MATERIA. RELASI REKURSIF LINEAR DENGAN KOEFISIEN KONSTANTA Bentuk umum bagian rekursif dari suatu relasi rekursif linear berderajat kadalah sebagai berikut = 0 + 1 −1 + 2 −2 + ⋯ + − dimana csebagai konstanta dan fn adalah fungsi dalam n dan 0 ≠ 0. Jika fn = 0 makarelasi rekursifnya disebut homogen; jika tidak demikian nonhomogen. Selanjutnya,jika untuk setiap ∈ {1, 2, 3, … , }, c sebagai konstanta, maka relasi rekursifnyadisebut relasi rekursif dengan koefisien konstanta. Misalnyaa 2 1 + 3 −1 = 2 adalah sebuah relasi rekursif linear berderajat satu dengan koefisien 1 = 2 = 0; = −1 + −2 + 1, ≥ 3 adalah relasi rekursif linear nonhomogen berderajat dua dengan koefisien 1 = 2 = 1; = −1 + −2 + 1, ≥ 3 adalah relasi rekursif linear nonhomogen berderajat dua dengan koefisien 0 = 1 = 1; = 0 −1 + 1 −2 + ⋯ + +1 0 ≥ 1 adalah relasi rekursif nonlineare 0 = 1; 0 = −1 + −1 , ≥ 1 adalah relasi rekursif linear nonhomogen dengan koefisien dicatat bahwa suatu relasi rekursif berderajat k terdiri atas sebuah bagianrekursif dan k kondisi awal berurutan. Relasi rekursif demikian mendefinisikantepat satu suatu relasi rekursif linear berderajat k dengan koefisien-koefisien konstantasebagaimana ditunjukkan dari penjelasan di atas, jika k nilai berturut-turut darifungsi numeric diketahui untuk suatu m tertentu, maka nilai dapat dihitungberdasarkan = − 1 [ 1 −1 + 2 −2 + ⋯ + − − ] 0Selanjutnya, nilai −1 dapat dihitung sebagai berikut 83 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t1 +1 = − 0 [ 1 + 2 −1 + ⋯ + − +1 − + 1]Dengan nilai-nilai +2, +3, … dapat dihitung dengan cara serupa. Disampingitu, nilai − +1 dapat dihitung sebagai berikut 1 − +1 = − [ 0 −1 + 1 −2 + ⋯ + +1 − − − 1]Dan nilai − +2 dapat dihitung sebagai berikut 1 − +2 = − [ 0 −2 + 1 −3 + ⋯ + +1 − −1 − − 2]Nilai-nilai −2 dan −3 dapat dihitung dengan cara serupa. Untuk suatu relasirekursif linear berderajat k, nilai k buah a, yang berurutan selalu dapat digunakanuntuk menentukan fungsi numeric a secara tunggal. Dengan kata lain, nilai k buaha, yang berurutan membentuk suatu syarat batar yang layak. Akan tetapi, untuksuatu relasi rekursif linear berderajat k, kurang dari k nilai fungsi tidak akan cukupuntuk menentukan fungsi numeric tersebut secara RELASI REKURSIF HOMOGEN DENGAN KOEFISIEN KONSTANTA Bentuk umum dari relasi rekursif linear homogen dengan koefisien konstantaadalah sebagai berikut = 1 −1 + 2 −2 + ⋯ + − dengan 1, 2, … , bilangan-bilangan real ≠ 0Dengan kondisi awal syarat batas, dan untuk 1 ≤ ≤ , = .Solusi homogeny bagi suatu relasi rekursif linear dengan koefisien-koefisienkonstanta mempunyai bentuk 1 ; dalam hal ini 1 dinamakan akar karakteristikdan A adalah suatu konstanta yang ditentukan oleh syarat batasnya. Denganmengganti dengan di dalam relasi rekursif dan ruas kanannya disamakandengan 0, kita peroleh 0 + 1 −1 + 2 −2 + ⋯ + − = 0 84 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i tPersamaan ini dapat disederhanakan menjadi 0 + 1 −1 + 2 −2 + ⋯ + = 0Yang dinamakan persamaan karakteristik bagi relasi rekursif demikian, jika 1 adalah salah satu dari akar-akar relasi rekursif tersebut,maka 1 merupakan suatu solusi homogeny bagi relasi rekursif rekursif yang berderajat k mempunyai k akar karakteristik jika akar-akarpersamaan karakteristik itu berada semuanya, tidak susah untuk memverifikasibahwa 1 = 1 1 + 2 2 + ⋯ + Juga merupakan solusi homogen umum bagi relasi rekursif tersebut dalam hal ini 1, 2, … , adalah akar-akar karakteristik yang berbeda dan 1, 2, … , adalahkonstanta-konstanta yang harus ditentukan oleh syarat-syarat batasnya. Akhirnyadiperoleh solusi homogen khusus.Pada bagian ini akan dikembangkan suatu teknik untuk menyelesaikan relasirekursif homogeny dengan koefisien konstanta. Untuk maksud tersebut diperlukanteorema Prinsip SuperposisiJika 1 dan 2 berturut-turut adalah solusi dari + 1 −1 + 2 −2 + ⋯ + − = 1 + 1 −1 + 2 −2 + ⋯ + − = 2 untuk sebarang konstanta 1 dan 2. 1 1 + 2 2 adalah sebuah solusidari + 1 −1 + 2 −2 + ⋯ + − = 1 + 2 akibat dari Teorema Prinsip Superposisi diperoleh teorema berikut. 85 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i tTeorema 1 , 2 , … berturut-turut adalah solusi dari + 1 −1 + 2 −2 + ⋯ + − = 0 1 1 + 2 2 + ⋯ + juga solusi dari untuk sebarangkonstanta 1, 2, … .Untuk menyelesaikan relasi homogen dengankoefisien konstanta pertama-tama kitamisalkan 0 ≠ 0. Untuk menentukan x, kita substitusi a dengan x dengan ∈[ , − 1, − 2, … , − ], diperoleh + 1 −1 + 2 −2 + ⋯ + − = 0Bagi kedua ruas persamaan terakhir ini dengan − diperoleh + 1 −1 + 2 −2 + ⋯ + = 0 disebut persamaan karakteristik dari relasi rekursif homogendengan koefisien konstanta. Pada umumnya persamaan mempunyai k akarbeberapa diantaranya mungkin bilangan 1, 2, … , adalah akar-akar yang berbeda dari persamaan maka . 1 ≤ ≤ adalah solusi dari + 1 −1 + 2 −2 + ⋯ + − = 0dengan ≠ 0Berdasarkan teorema jika 1 , 2 , … berturut-turut adalah solusidari + 1 −1 + 2 −2 + ⋯ + − = 0 1 1 + 2 2 + ⋯ + juga solusi dari untuk sebarangkonstanta 1, 2, … . Dengan demikian solusi umum dari relasi rekursif homogenykoefisien konstanta adalah = 1 1 + 2 2 + ⋯ + = 0 persamaan dan k kondisi awal syarat batas akan terbentuk suatu systempersamaan yang terdiri dari k persamaan dengan k variabel 1, 2, … . Jika solusi 86 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i tdari system persamaan ini kita substitusikan ke persamaan diperoleh solusihomogen khusus dari relasi rekursif + 1 −1 + 2 −2 + ⋯ + − = 0 dengan ≠ 0Contoh solusi umum dari relasi rekursif berikut 1 = 2 = 1, = −1 + −2 ≥ 3PenyelesaianMisalkan = −1, ≠ 0 maka bentuk rekursif = −1 + −2 menjadi − −1 − −2 = 0Bagi kedua ruas persamaan terakhir dengan −2 diperoleh persamaankarakteristik sebagai berikut 2 − − 1 = 0Persamaan karakteristik tersebut memiliki akar-akar karakteristik yaitu 1 = 1+√5 dan 2 = 1−√5 2 2sehingga solusi homogen umum dari relasi rekursif adalah ℎ = 1 1 + 2 2 ℎ = 1 [1+√5] + 2 [1−√5] 2 2Karena kondisi awal 1 = 1 dan 2 = 1, maka dari diperoleh systempersamaan berikut 1 [1+√5] + 2 [1−√5] = 1 2 2 1 [1+√5]2 + 2 [1−√5]2 = 1 2 2Selanjutnya dari persamaan dan diperoleh 1 = √5 dan 2 = − √5 5 5Substitusikan nilai 1 dan 2 ini ke persamaan diperoleh solusi homogenkhusus dari relasi rekursif sebagai berikut 87 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t ℎ = √5 1 + √5 − √5 1 − √5 5 [ 2] 5 [ 2]Catatan Walau formula melibatkan bilangan rasional dapat dicek bahwauntuk setiap ≥ 1, adalah bilangan bulat non AKAR RANGKAP Misal persamaan karakteristik mempunyai sebuah akar rangkap,katakan 1 akar rangkap m artinya dari ke k akar-akar dari terdapat m akaryang masing-masing nilainya 1. Maka dapat ditunjukkan bahwa masing-masingdari 1 , 1 , 2 1 , … , −1 1 adalah solusi dari relasi ini bersama denganTeorema menghasilkan teorema persamaan karakteristik dari relasi rekursif + 1 −1 + ⋯ + − = 0; ≠ 0, mempunyai sebuah akar 1 katakan, rangkap ≤ , makasolusi umum dari + 1 −1 + ⋯ + − = 0; ≠ 0, yang melibatkan 1mempunyai bentuk 0 1 + 1 1 + 2 2 1 + ⋯ + −1 −1 1 Contoh solusi homogen umum dan solusi homogen khusus untuk yangmemenuhi relasi berikut = 3 −1 + 6 −2 − 28 −3 + 24 −4Dengan 0 = 1 ; 1 = 2 2 = 3 dan 3 = 4PenyelesaianMisalkan = ; ≠ 0. Maka bagian rekursif dari relasi rekursif diperoleh = 3 −1 + 6 −2 − 28 −3 + 24 −4 ekuivalen dengan − 3 −1 − 6 −2 + 28 −3 − 24 −4 = 0 88 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i tBagi kedua ruas dari persamaan terakhir ini dengan −4 , diperoleh persamaankarakteristik sebagai berikut − 3 −1 − 6 −2 + 28 − 24 = 0 ekuivalendengan − 23 + 3 = 0Akar-akar dari persamaan karakteristik ini adalah x = 2 rangkap 3 dan x = -3Sehingga, berdasarkan teorema dan Teorema solusi homogen umumdari rekursif di atas adalah = 02 + 1 2 + 1 22 + 3−3 0 = 1, 1 = 2, 2 = 3, dan 3 = 4 dari diperoleh systempersamaan berikut1 = 0 + 32 = 2 0 + 2 1 + 2 2 − 3 33 = 4 0 + 8 1 + 16 2 + 9 34 = 8 0 + 24 1 + 72 2 − 27 3dengan solusinya 0 = 1 2; 1 = 7; 2 = − 3; 3 = − 2 125 125 200 40Substitusikan nilai-nilai 0, 1, 2, dan 3 ini ke dalam persamaan diperolehsolusi homogen khusus yang diminta = 1 2 2 + 7 2 − 3 22 − 2 −3 125 200 40 125D. RELASI REKURSIF TIDAK HOMOGEN DENGAN KOEFISIEN KONSTANTA Bentuk umum dari relasi rekursif linear tidak homogen dengan koefisienkonstanta adalah sebagai berikut 89 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t + 1 −1 + ⋯ + − = ; ≠ 0, ≠ 0,dengan k kondisi awal syarat batas, dan untuk 1 ≤ ≤ , 1 = konstanta. Belum ada prosedur umum untuk menentukan solusi khusus bagi suaturelasi rekursif. Dalam kasus yang sederhana, pertama-tama kita buat bentuk umumdari solusi khusus berdasarkan bentuk , dan kemudian kita tentukan solusipastinya berdasarkan relasi rekursif yang diberikan. Perhatikanlah kasus-kasusberikut 1Bila merupakan suatu polinom berderajat t di dalam n yaitu 1 + 2 −1 + ⋯ + + +1Maka bentuk umum solusi khususnya 1 + 2 −1 + ⋯ + + +1Contoh kita akan mencari solusi khusus untuk relasi rekursif tidak homogen + 5 −1 + 6 −2 = 3 2 − 2 + 1 khususnya mempunyai bentuk 1 2 + 2 + 3Dengan mensubstitusikan ke dalam kita peroleh 1 2 + 2 + 3 + 5 1 − 12 + 2 − 1 + 3 + 6 1 − 22 + 2 − 2 + 3 = 3 2 − 2 + 1Setelah disederhanakan menjadi12 1 2 − 34 1 − 12 2 + 29 1 − 17 2 + 12 3 = 3 2 − 2 + 1 membandingkan koefisien kedua ruas kita memperolehpersamaan-persamaan12 1 = 334 1 − 12 2 = 229 1 − 17 2 + 12 3 = 1yang menghasilkan 90 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t 1 = 14; 2 = 1234; 3 = 71 288jadi, solusi khususnya adalah = 1 2 + 13 + 71 4 24 288Kasus 2 Bila berbentuk 1, maka solusi khususnya akan berbentuk umum 1, dengan syarat bukan akar krakteristik relasi rekursif solusi khusus untuk relasi rekursif tidak homogeny berikut + 5 −1 + 6 −2 = 42. 4 khususnya mempunyai bentuk umum . mensubstitusikan ke dalam kita peroleh . 4 + 5 . 4 −1 + 6 . 4 −2 = 42. 4 . 4 + 5 . 4 4−1 + 6 . 4 4−2 = 42. 4 . 4 + 5 . 4 + 6 . 4 = 42. 4 4 1642 . 4 = 42. 4 16 = 16Jadi, solusi khususnya adalah = 16. 4 Contoh solusi khusus untuk relasi rekursif tidak homogeny berikut. − 6 −1 + 9 −2 = 3 karakteristiknya 2 − 6 + 9 = 3 − 32 = 3 Ternyata 3 merupakan akar karakteristik kembarnya. Karena itu bentuk umumsolusi khususnya adalah 23 mensubstitusikan ke dalam kita memperoleh 91 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t 23 − 6 − 123 −1 + 9 − 223 −2 = 3 23 − 6 2 − 2 + 13 3−1 + 9 2 − 4 + 43 3−2 = 3 23 − 2 23 + 4 3 − 2 3 + 23 − 4 3 + 4 3 = 3 2 3 = 3 = 1 2Jadi, solusi khususnya adalah = 1 23 2Kasus 3Bila berbentuk perkalian antara polinom dengan fungsi eksponen, makasolusi khususnya akan berbentuk perkalian antara kasus 1 dengan kasus 2. Yaitu,bila berbentuk 1 + 2 −1 + ⋯ + + +1 maka bentuk umum solusi khususnya 1 + 2 −1 + ⋯ + + +1 Contoh solusi khusus untuk relasi rekursif tidak homogen berikut = − −1 + 3 . 2 karakteristiknya + 1 = 3 . 2 Solusi khususnya mempunyai bentuk umum [ 1 + 0]. 2 mensubstitusikan ke dalam kita memperoleh[ 1 + 0]. 2 + [ 1 − 1 + 0]. 2 −1 = 3 . 2 1 . 2 + 0. 2 + 1 . 2 −1 − 1. 2 −1 + 0. 2 −1 = 3 . 2 1 . 2 + 0. 2 + 1 . 2 − 1 . 2 + 0 . 2 = 3 . 2 2 2 2 1 + 1 . 2 + 3 0 − 1 . 2 2 2 2Dengan membandingkan koefisien kedua ruas kita memperolehpersamaan-persamaan 1 + 1 = 3 dan 3 0 − 1 = 0 2 22 92 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t 1 = 2 dan 0 = 2 3Jadi, solusi khususnya adalah = 2 + 2 2 3 Solusi total bagi suatu relasi rekursif linear tidak homogen dengankoefisien-koefisien konstanta merupakan jumlah dua bagian, solusi homogenkhusus yang memenuhi relasi rekursif itu bila ruas kanannya disamakan dengan0, dan solusi khusus yang memenuhi relasi rekursif itu dengan di tuas akar-akar karakteristik relasi rekursif itu berbeda semuanya. Solusitotalnya mempunyai bentuk umum = 1 1 + 2 2 + ⋯ + + dalam hal ini adalah solusi solusi total untuk relasi rekursif tidak homogeny berikut. − 6 −1 + 9 −2 = 3 PenyelesaianPada contoh yang telah dikerjakan dan diperoleh 3 merupakan satu-satunyaakar karakteristik kembarnya, sehingga solusi homogen umumnya adalah = 03 + 1 3 + 1 23 2dan solusi khususnya adalah = 1 23 . 2Diperoleh solusi totalnya adalah = 03 + 1 3 + 1 23 2Contoh kita akan mencari solusi khusus untuk relasi rekursif tidak homogen + 5 −1 + 6 −2 = 42. 4 lihat contoh totalnya adalah 93 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t = 1−2 + 2−3 + 16. 4 diketahui syarat-syarat batasnya adalah 2 = 278 dan 3 = 962Setelah disubstitusikan ke diperoleh system persamaan linear278 = 4 1 + 9 2 + 256962 = −8 1 − 27 2 + 1024Setelah system persamaan linear ini diselesaikan kita memperoleh 1 = 1 dan 2 = solusi totalnya adalah = −2 + 2−3 + 14. 4 E. MENYELESAIKAN RELASI REKURSIF DENGAN FUNGSI PEMBANGKIT Untuk suatu relasi rekursif ordo ke-k yang menspesifikasikan suatu fungsinumeric, kita haruas tahu untuk nilai-nilai n berapa saja relasi itu berlaku. Kita catatbahwa relasi itu berlaku hanya jika ≥ sebab, untuk < , relasi itu akanmelibatkan − sesuatu yang tidak didefinisikan. Prosedur umum untuk menentukan fungsi pembangkit bagi fungsi numerika dari relasi rekursif 0 + 1 −1 + 2 −2 + ⋯ + − = yangberlaku untuk ≥ , dalam hal ini ≥ . Dengan mengalikan kedua ruaspersamaan ini dengan dan kemudian menjumlahkan hasilnya dari n = a ke n =∞, kita memperoleh ∞∞ ∑ 0 + 1 −1 + 2 −2 + ⋯ + − = ∑ = = Karena ∞ ∑ 0 = 0 − 0 − 1 − 2 2 − ⋯ − −1 −1 = ∞ ∑ 0 −1 = 1 − 0 − 1 − 2 2 − ⋯ − −2 −2 = 94 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t…………………………………………………………………… ∞ ∑ − = − 0 − 1 − 2 2 − ⋯ − − −1 − −1 = maka kita memperoleh = 0 + 1 1 + ∞ + 0 0 + 1 + 2 2 + ⋯ +⋯ [∑ = + −1 −1 + 1 0 + 1 + 2 2 + ⋯ + −2 −2 + ⋯ + 0 + 1 + 2 2 + ⋯ + − −1 − −1]Contoh kita akan menyelesaikan relasi rekursif − 5 −1 + 6 −2 = 2 + , ≥ 2, dengan syarat batas 0 = 1 dan 1 = 1dengan terlebih dahulu mencari fungsi pembangkitnya, Az.Karena ∞∞ ∞ ∞∞ ∑ − 5 ∑ −1 + 6 ∑ −2 = ∑ 2 + ∑ =2 =2 =2 =2 =2maka kita memperoleh − 0 − − 5 [ − 0] + 6 2 = 4 2 + 1 1 2 − 1 1 − 2 −yang dapat disederhanakan menjadi 1 − 8 + 27 2 − 35 3 + 14 4 = 1 − 21 − 2 21 − 3 = 5⁄4 + 1⁄2 − 1 3 − 1 2 + 17⁄4 1 − 1 − 2 − 2 − 2 2 1 − 3 Dengan demikian kita memperoleh = 5 + 1 + 1 − 3. 2 − 2 + 12 + 17 3 4 2 4 = 7 + − . 2 +1 − 5. 2 + 17 3 4 2 4 95 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i tContoh kita akan menggunakan fungsi pembangkit biasa untuk relasi rekursifberikut 0 = 1, 1 = 3 ; = 2 −1 + 4 −1, ≥ 2Misal Px adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan . Maka menurutdefinisi ∞ = ∑ =0karena untuk ≥ 2, = 2 −1 + 4 −1, kalau kedua ruas dari persamaan inidikalikan dengan kemudian “dijumlahkan” untuk n = 2 samai n = ∞, diperoleh ∞∞ ∑ = ∑2 −1 + 4 −1 =2 =2ekuivalen dengan ∞∞ ∞ ∑ = 2 ∑ −1 + ∑ 4 −1 =2 =2 =2ruas kiri persamaan di atas adalah ∞∞ ∑ = ∑ − 0 − 1 =2 =2 = − 1 − 3 Suku pertama ruas kanan persamaan di atas adalah ∞∞ 2 ∑ −1 = 2 ∑ −1 −1 =2 =2 ∞ = 2 ∑ −1 −1 − 0 =2 = 2 − 1 = 2 − 2 Suku kedua ruas kanan persamaan di atas adalah 96 M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN REPUBLIK INDONESIA 2018 EDISI REVISI 2018Senang Belajar MATEMATIKA  SD/MI Kelas V EDISI REVISI 2018 SD/MI KELAS VHak Cipta © 2018 pada Kementerian Pendidikan dan KebudayaanDilindungi Undang-UndangDisklaimer Buku ini merupakan buku siswa yang dipersiapkan Pemerintah dalam rangkaimplementasi Kurikulum 2013. Buku siswa ini disusun dan ditelaah oleh berbagai pihak di bawahkoordinasi Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, dan dipergunakan dalam tahap awalpenerapan Kurikulum 2013. Buku ini merupakan “dokumen hidup” yang senantiasa diperbaiki,diperbarui, dan dimutakhirkan sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Masukandari berbagai kalangan yang dialamatkan kepada penulis dan laman melalui email [email protected] diharapkan dapat meningkatkan kualitas buku Dalam Terbitan KDT Indonesia. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. Senang Belajar Matematika / Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. - Jakarta Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, 2018. vi, 258 hlm. ilus. ; 29,7 SD/MI Kelas VISBN 978-602-244-178-6 jilid lengkapISBN 978-602-244-180-9 jilid 21. Matematika - Studi dan Pengajaran I. Judul II. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan 372Penulis Purnomosidi, Wiyanto, Safiroh, dan Ida Swasono Rahardjo dan Tutik -Penyelia Penerbitan Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Ke-1, 2018Disusun dengan huruf Tahoma, 12 ptKata PengantarAnak-anakku yang hebat! Jawablah pertanyaan berikut dengan cermat! Dapatkah kamu menghitung berbagai bentuk pecahan?Bagaimana cara kamu menghitung dengan cepat dan tepat?Tahukah kamu tentang kecepatan dan debit?Apakah kamu sudah dapat mengerjakan skala?Apakah kamu sudah mengenal bangun dimensi tiga?Pernahkah kamu mendengar istilah statistik?Wow... sangat luar biasa. Makin besar makin pintar, pasti sungguh-sungguh belajar. Belajar harus tekun dan sabar. Anak-anakku kini yakinlah! Belajar matematika tugasmu dengan baik,banyak-banyaklah membaca dan kamu akan semakin ucapkan dengan semangat!Belajar ... yes!Matematika ... yes ... yes!Prestasi ... yes ... yes ... yes! Malang, Januari 2018 Tim PenyusunKata Pengantar iiiMenu BukuPengertian Bab Kompetensi PengetahuanIlustrasi gambar yang diamati dan Keterampilansiswa sebagai pengantar dalam Sebagai acauan siswa dalammempelajari materi mempelajari materi dari pengetahuan dan keterampilan Penjumlahan Pecahan Bermain Posisi Bilangan Pdpeaenpnjauytmedblaiulahtnkayunakpasenacmjaikhaaa. n Ayo, Kerja Bersama! Upsbeeachahinhpgaegncaalaphienannsyemenbeilunatjinaydai sama. 1. Buatlah kelompok berpasangan, setiap kelompok dua orang. 2. Buatlah pecahan 1 bagian dari kertas lipat. 2 Catatan Pinggir C12on+to1h4 = 3. Buatlah pecahan 1 bagian dari kertas lipat. Berisi materi review, penanaman 3 sikap, contoh soal, dan motivasi 1 3 yang menumbuhkan 2 + 4 = 4 motivasi siswa 4 Ayo, Sportif 4. Pecahan 1 bagian dibagi menjadi 3 bagian. 2 Lakukan kegiatan Edo membawa buah melon 1 bagian. Beni membawa melon 1 bagian. Mereka dengan kerjasama 8 2 dengan teman. Lakukan dengan jujur menggabungkan buah melon yang mereka bawa. Apabila kedua bagian melon dan mandiri. tersebut digabungkan, dapatkah kamu menyebutkan pecahan dari gabungan buah melon tersebut? 5. Pecahan 1 bagian dibagi menjadi 2 bagian. 3 1 + 1 =... 8 2 6. Pecahan 1 berubah menjadi ____ 2 7. Pecahan 1 berubah menjadi ____ 3 Aktivitas Kegiatan ini menggiring siswa 8. Lakukan penjumlahan dua pecahan menemukan konsep dan belajar bersama tersebut! atau kelompok Operasi Hitung Pecahan 3 4 Senang Belajar MATEMATIKA untuk SD/MI kelas VPengantar Materi SubbabPengantar materi didahuluidengan mengamati gambardan teks Kerjakan pengurangan pecahan berikut nomor 1 sampai nomor 7! Jawabanmu cocokan pada pecahan yang ada di sebelah kanan, kemudian huruf- huruf tersebut kamu susun sesuai nomor jawaban di petak-petak bawah sehingga membentuk kata! Salinlah di buku tulismu! Asyik Mencoba Berisi latihan yang terbimbing diharapkan siswa dapat menemukan konsep dengan menyenangkan dari latihan 10 Senang Belajar MATEMATIKA untuk SD/MI kelas V Senang Belajar MATEMATIKA untuk SD/MI kelas VSelesaikan dengan menuliskan cara dan hasilnya di buku tulismu! 1 Di kelas Siti dan teman-temannya melakukan praktik membuat kue. Setiap satu kali membuat adonan membutuhkan 2 1 kg tepung. Apabila disediakan 4 tepung 18 kg, berapa kali adonan yang dapat mereka buat? 2 Keliling sebuah taman 24 m. Apabila di keliling taman akan diberi pot dengan jarak antar pot 1 1 m, berapa pot yang dibutuhkan? 2 3 Seorang pedagang membeli gula 20 kg. Gula tersebut selanjutnya akanAsyik Berlatih dibungkus dalam plastik-plastik kecil. Setiap plastik kecil berisi 1 1 kg. BerapaSoal yang berisi 4problem solving danhigh order thinking skill plastik kecil yang dibutuhkan pedagang tersebut?Asyik Bereksplorasi 4 Beni mendapat tugas dari gurunya untuk membuat lukisan kolase. Saat iniKegiatan ini melatihsiswa berpikir kreatif dan dia memiliki 1 1 kg pasir halus. Jika sebuah kolase membutuhkan 1 kg pasirinovatif. Siswa menjawab 2 16pertanyaan terbuka. halus, maka berapa banyak kolase yang dapat dibuat? Tugas Proyek Tugas ini merupakan 5 Persediaan beras Ibu 21 kg. Setiap hari menghabiskan beras untuk memasak aplikasi Kompetensi Dasar dan dapat mencakup mata 3 kg. Berapa hari persediaan beras Ibu akan habis? pelajaran lain 4 6 Ibu memiliki abon ikan 3 1 kg akan dimasukkan dalam 5 kantung plastik 2 dengan ukuran berat sama. Berapa kg berat setiap kantung plastik? 7 Sebuah mobil pick-up akan mengangkut pasir 6 ton. Setiap kali angkut mobil hanya mampu membawa 2 1 kuintal pasir. Berapa kali mobil pick up untuk 2 menggangkut semua pasir? 8 Lampu proyektor memiliki daya pakai 1000 jam. Jika setiap hari rata-rata dinyalakan selama 6 1 jam, berapa hari lampu proyektor itu bisa dipakai? 4 9 Di sekeliling kebun akan ditanami bibit sirsak dengan jarak tanam 3 1 m. Jika 2 1 keliling kebun tersebut 696 2 m, berapa banyak bibit sirsak yang dibutuhkan? 10 Ibu memiliki susu 1 1 liter, susu tersebut akan dimasukan ke dalam gelas. Setiap gelas berisi 1 5 gelas yang dibutuhkan Ibu? 5 liter. Berapa Operasi Hitung Pecahan 41 Pak Joko memasang kran di wastafel depan kelas V. Setiap 8 detik air yang Berpikir Kritis dialirkan sebanyak 1 liter. Coba kamu cari 5 pasangan waktu dan volume yang Pertanyaan kritis dialirkan oleh kran tersebut! merangsang imajinasi siswa untuk berpikir Apakah kecepatan sebuah mobil selalu tetap atau dapat berubah-ubah? kritis. Siswa juga Apakah volume benda cair dalam kondisi diam dapat diukur debitnya? diperbolehkan mengajukan Kerjakan secara berkelompok! pertanyaan kritis Coba kamu cari informasi jarak antar kota di Provinsi tempat kamu tinggal, kemudian tentukan waktu yang dibutuhkan untuk menempuh antar kota dengan Belajar Bersama kecepatan 40 km/jam! Orangtua Kegiatan ini bertujuan Hitunglah debit kran di rumahmu dan hitung pemakaian air di rumahmu selama 1 mengikutsertakan bulan! Bertanyalah kepada orang tuamu! orangtua dalam proses belajar siswa 92 Senang Belajar MATEMATIKA untuk SD/MI kelas V 1 Gambar yang mana sajakah berupa jaring-jaring kubus? Rangkuman Materi1. Sifat-sifat Bangun Ruang Berisi poin-poin penting a b c dari materi yang telah a. Balok dipelajari d e f Memiliki 6 sisi, memiliki 8 titik sudut, memiliki 12 rusuk Uji Kompetensi Apabila jaring-jaring bangun di bawah ini dilipat atau dipasang hingga b. Kubus Terdapat latihan soal 2 membentuk bangun ruang, sisi yang dilabel nomor berapa yang Memiliki 6 sisi, memiliki 8 titik sudut, memiliki 12 rusuk, semua sisinya yang mencakup berbentuk persegi. kompetensi dasar berhadapandengan sisi yang berwarna biru? c. Prisma Segitiga 1 5 1 1 1 Memiliki 5 sisi, memiliki 9 rusuk, memiliki 6 titik sudut, memiliki 3 sisi 24 2345 23 234 berbentuk persegipanjang, memiliki 2 sisi segitiga. 3 4 5 a. ... b. ... 5 d. Tabung c.... Memiliki 3 sisi, 2 sisi berbentuk lingkaran, 1 sisi berbentuk lengkung, d. ... memiliki 2 rusuk, tidak memiliki titik sudut. 3 Gambar yang mana sajakah berupa jaring-jaring balok? e. Limas Segitiga Memiliki 4 sisi berbentuk segitiga, memiliki 6 rusuk, memiliki 4 titik sudut. f. Limas Segiempat Memiliki 5 sisi, 4 sisi berbentuk segitiga, 1 sisi berbentuk segiempat. g. Kerucut Memiliki 2 sisi, memiliki titik puncak, memiliki 1 Volume Bangun Ruang V=pxlxt a b c d V = s x s x s = s3 4 Apabila jaring-jaring bangun di bawah ini dilipat atau dipasang, ada sisi-sisi a Balok V = Lalas x t b Kubus yangsaling bertumpuk. Sisi-sisi nomor berapakah itu? c Prisma segitiga V = x Lalas x t d Tabung V = x Lalas x t 1 12 1234 d Limas segitiga V= x rt 2 34 3 456 56 e Limas segiempat 56 f Kerucut b ... dan ... c ... dan ... a ... dan ...Bangun Ruang 219 221 Bangun RuangMenu Buku vDaftar Isi1O p e r a s i Hitung Pecahan2 Kecepatan dan Debit& 45Kecepatan Debit 87 4 Bangun Ruang Skala Volume Bangun Ruang Jaring-Jaring Bangun Ruang 129Bangun Ruang &Pengumpulan 197 Penyajian Datavi Senang Belajar MATEMATIKA untuk SD/MI kelas VSumber Dok. PenulisEdo membawa buah melon 1 bagian. Beni membawa melon 1 bagian. Mereka 8 2menggabungkan buah melon yang mereka bawa. Apabila kedua bagian melontersebut digabungkan, dapatkah kamu menyebutkan pecahan dari gabungan buahmelon tersebut? 1 + 1 = ... 8 22 Senang Belajar MATEMATIKA untuk SD/MI kelas VBermain Penjumlahan BilanganPenjumlahan Pecahan Ayo, Kerja Bersama!Pdpeaenpnjauytmedblaiulahtnkayunakpasenacmjaikhaaa. n 1. Buatlah kelompok berpasangan, setiap kelompok Upsbeeachahinhpgaegncaalaphienannsyemenbeilunatjinaydai sama. dua orang. 2. Buatlah pecahan 1 bagian dari kertas lipat. 2Contoh 1 1 41 + 4 = ... 3. Buatlah pecahan bagian dari kertas 32 + 1 = 44 4Ayo, Sportif 4. Perhatikan 1 bagian dibagi 2. 2Lakukan kegiatandengan kerjasamadengan dengan jujurdan mandiri. 5. Pecahan 1 menjadi ... 2 6. Pecahan 1 tetap ... 4 7. Lakukan penjumlahan dari dua pecahan tersebut!Operasi Hitung Pecahan 3Perhatikan gambar berikut! Tuliskan pecahan-pecahannya dengan pecahan senilai. Buatlah penyebut- nya sama! Kerjakan di buku tugasmu!4 Senang Belajar MATEMATIKA untuk SD/MI kelas VKPK Penjumlahan PecahanKPK dari 12 dan 16 adalah ...Cara Mencari Contoh1K261e..l ai pd3Ka2Ka2et4lea,al,ilnphi4p4a8ba48teta8,a,rn,6sn694a101,6m6,2, n... 2 + 1 = ... 3 4 Penyelesaian 2 + 1 = ... 3 4Jadi, KPK dari 12 dan 16 ada- Mencari KPK dari 3 dan 48. Kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12 , 15, 18, 21, 24 , ... Kelipatan 4 adalah 4, 8, 12 , 16, 20, 24 , ... KPK dari 3 dan 4 adalah 12. Jadi, 2 + 1 = 2× 4 + 1×3 = 8 + 3 = 11 3 4 12 12 12 12 12 Lengkapilah pecahan-pecahan senilai di bawah ini!Literasi 1. 2 + 1 = ... + ... = ... 5 4 20 20 20Dahulu kala pecahan ditulissebagai bilangan bersusun, 2. 2 + 1 = ... + ... = ...tanpa tanda garis medatar 3 5 15 15 15antara pembilang dan penyebut. 3. 3 + 1 = ... + ... = ... 5 3 ... ... ... Adalah Al-Hassar seorang ahli Matematika 4. 1 + 3 = ... + ... = ... dari Maghribi di kawasan 6 4 ... ... ... Afrika bagian utara pada abad ke-12 mengenalkan 5. 5 + 4 = ... + ... = ... tanda garis mendatar antara 6 5 ... ... ... pembilang dan penyebut. Tanda itu memudahkan Kerjakan penjumlahan pecahan di bawah ini! sehingga dipakai di seluruh dunia hingga sekarang. 1. 4 + 3 = ... 4. 5 + 2 = ... 5 4 6 7 Baca lengkap di 2. 2 + 1 = ... 5. 5 + 4 = ... Al-Hassar 7 4 7 9 3. 2 + 5 = ... 5 8Operasi Hitung Pecahan 5Bermain Pengurangan BilanganPengurangan PecahanPengurangan pecahan Ayo, Kerja Bersama!terlebih dahulu denganmenyamakan penyebut. 1. Buatlah kelompok berpasangan, setiap kelompokUbah pecahan menjadi dua lain senilai sehingga penyebutnya 2. Buatlah pecahan 1 bagian dari kertas lipat. 2 - 1 = ...2 42 - 1 = 1 3. Pecahan 1 diwakili bagian yang 4 4 4 4. Perhatikan 1 bagian dibagi 2. 2Ayo, SportifLakukan kegiatandengan kerjasamadengan dengan jujurdan mandiri. 5. Pecahan 1 menjadi ... 2 6. Pecahan 1 tetap ... 4 7. Lakukan pengurangan dari dua pecahan Senang Belajar MATEMATIKA untuk SD/MI kelas VPengurangan PecahanContoh4 - 3 = ...5 4Penyelesaian4 - 3 = ...5 4Carilah Kelipatan Persekutuan Terkecil KPK daripenyebut pecahan tersebut, yaitu 5 dan 4. Literasi BdKHiiulgaanlunoingnasai kendakanPipteaaocrtlaetdhhaiahlibnhuaanpn 5, 4 = 20. Selanjutnya ubah pecahan menjadi di Papyrus Ahnes. PmspmAsPaaeaededetmtnuacanuagapbyashnguainlaaunatyaansnnatpkegaiteaictknetuncauaryars,nappahebeeasbpbacranueebant-ctrhaugpasdnaseahuiandc senilai dengan penyebut 20. dengan menggunakan4 - 3 = 205 x 4 - 20 4 x 3 bahasa 4 20 20 PbCaaindnaagsKsaauanMtoebsmeirrusKlaauminmaoa,ennbgadenengnasgalan pecahan. = 16 - 15 = 1 20 20 20 Selengkapnya dapat dibaca di 4 - 3 = 1 5 4 20 7Lengkapilah pecahan-pecahan senilaidi bawah ini!1. 4 - 1 = ... - ... = ... 5 4 20 20 202. 1 - 1 = ... - ... = ... 3 5 15 15 153. 3 - 1 = ... - ... = ... 5 3 ... ... ...4. 4 - 2 = ... - ... = ... 6 4 ... ... ...5. 5 - 4 = ... - ... = ... 6 5 ... ... ...Kerjakan pengurangan pecahan di bawah ini!1. 7 - 3 = ... 4. 5 - 2 = ... 8 4 6 92. 5 - 1 = ... 5. 6 - 5 = ... 7 4 7 83. 3 - 5 = ... 4 9Operasi Hitung PecahanKerjakan penjumlahan dan pengurangan pecahan nomor 1 sampai 7!Jawabanmu cocokkan pada pecahan yang ada di sebelah kanan. Kemudian, huruf-huruf tersebut disusun sesuai nomor jawaban di petak bawahnya, sehingga mem-bentuk kata! Salinlah di buku tulismu!1 51 + 3 A 17 36 5 122 2 + 3 I11 3 4 243 3 + 1 R16 7 5 35 144 5 - 1 6 5 M15 N225 5 - 1 7 4 356 3 - 1 I 13 5 7 287 5 - 1 D19 8 6 3013 57 2 468 Senang Belajar MATEMATIKA untuk SD/MI kelas VPenjumlahan dan Pengurangan Pecahan CampuranMengubah ke bentuk pecahan biasaPecahan campuran, contohnya 2 3 dan dapat diubah menjadi pecahan biasa. 5Perhatikan contoh berikut! 6. 6 3 = ... 7 7. 9 5 = ... 8Ubahlah pecahan campuran biasa!1. 1 2 = ... 5. 4 5 = ... 9. 15 7 = ... 3 6 102. 1 1 = ... 6. 6 3 = ... 10. 27 13 = ... 4 7 153. 2 3 = ... 7. 9 5 = ... 4 84. 3 2 = ... 8. 10 3 = ... 5 pecahan campuran dan pecahan biasa di bawah ini!Hasilnya menjadi pasangan pecahan senilai!1. 1 1 a. 13 8 32. 3 1 b. 23 5 43. 4 1 c. 25 2 44. 4 1 d. 9 3 85. 4 2 e. 58 5 76. 5 3 f. 28 4 57. 5 1 g. 9 4 28. 5 3 h. 21 5 49. 6 1 i. 22 4 510. 8 2 j. 16 7 5Operasi Hitung Pecahan 9Menjumlahkan dan Mengurangkan Dua Pecahan CampuranMenjumlahkan dan mengurangkan dua pecahan campuran dapat dilakukandengan menggunakan salah satu dari dua PertamaMengubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa. Kemudian, kamu menya-makan penyebut kedua pecahan melakukan operasi hitung Penyelesaian1 1 + 2 1 = ... 1 1 + 2 1 = 3 + 7 = 9 + 14 = 23 = 3 5 2 3 2 3 2 3 6 6 6 6Bila mengurangkan, dilanjutkan dengan operasi hitung Penyelesaian2 1 - 1 1 = ... 2 1 - 1 1 = 9 - 6 = 45 - 24 = 21 = 1 1 4 5 4 5 4 5 20 20 20 20Kerjakan soal-soal berikut!1. 2 2 + 4 4 = ... + ... = ... + ... = ... = ... ... 3 5 ... ... ... ... ... ...2. 4 1 + 1 1 = ... + ... = ... + ... = ... = ... ... 2 3 ... ... ... ... ... ...3. 4 5 + 2 1 = ... + ... = ... + ... = ... = ... ... 6 4 ... ... ... ... ... ...4. 6 1 + 3 4 = ... + ... = ... + ... = ... = ... ... 3 5 ... ... ... ... ... ...5. 5 2 + 1 3 = ... + ... = ... + ... = ... = ... ... 3 4 ... ... ... ... ... ...6. 4 2 - 2 4 = ... - ... = ... - ... = ... = ... ... 3 5 ... ... ... ... ... ...7. 3 1 - 1 1 = ... - ... = ... - ... = ... = ... ... 2 3 ... ... ... ... ... ...8. 4 5 - 2 3 = ... - ... = ... - ... = ... = ... ... 6 4 ... ... ... ... ... ...9. 6 4 - 3 1 = ... - ... = ... - ... = ... = ... ... 5 3 ... ... ... ... ... ...10. . 5 2 - 1 3 = ... - ... = ... - ... = ... = ... ... 3 4 ... ... ... ... ... ...10 Senang Belajar MATEMATIKA untuk SD/MI kelas VMemisahkan Bilangan Bulat dan Pecahan dalam Menjumlahkandan Mengurangkan Dua Pecahan CampuranCara KeduaCaranya dengan memisahkan bilangan bulat dan pecahannya. Kemudian,kamu melakukan operasi hitung yang sesuai, yaitu penjumlahan atau Penyelesaian1 1 + 2 1 = ... 1 1 + 2 1 = 1 + 2 + 1 + 1 2 3 2 3 2 3 = 3+ 3 + 2 = 3 5 6 6 6Contoh Penyelesaian2 1 - 1 1 = ... 2 1 - 1 1 = 2 - 1 + 1 - 1 4 5 4 5 4 5 = 1+ 5 - 4 = 1 1 20 20 20Kerjakan soal-soal berikut!1. 3 2 + 4 4 = ... + ... + ...... + ... = ... + ...... + ... = ... 3 5 ... ...2. 4 1 + 2 1 = ... + ... + ...... + ... = ... + ...... + ... = ... 2 3 ... ...3. 5 5 + 2 1 = ... + ... + ...... + ... = ... + ...... + ... = ... 6 4 ... ...4. 6 1 + 4 4 = ... + ... + ...... + ... = ... + ...... + ... = ... 3 5 ... ...5. 4 2 + 2 3 = ... + ... + ...... + ... = ... + ...... + ... = ... 3 4 ... ...6. 5 2 - 3 4 = ... - ... + ...... - ... = ... + ...... - ... = ... 3 5 ... ...7. 4 1 - 2 1 = ... - ... + ... - ... = ... + ... - ... = ... 2 3 ... ... ... ...8. 4 5 - 1 3 = ... - ... + ...... - ... = ... + ...... - ... = ... 6 4 ... ...9. 6 4 - 2 1 = ... - ... + ...... - ... = ... + ...... - ... = ... 5 3 ... ...10. 5 2 - 3 3 = ... - ... + ...... - ... = ... + ...... - ... = ... 3 4 ... ...Operasi Hitung Pecahan 11Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Campuran denganBilangan AsliPenjumlahan dilakukan dengan menambahkan bilangan pecahannya Penyelesaian4 + 1 2 = ... 4 + 1 2 = 4 + 1 + 2 = 5 2 5 5 5 5Pengurangan dilakukan dengan mengubah bilangan asli menjadi pecahancampuran terlebih Penyelesaian 4 - 1 3 = ... • Mengubah 4 menjadi pecahan campuran 5 4 = 3+1 = 3 + 5 5 Bilangan 4 senilai dengan 3 5 5 • Menyelesaikan pengurangan pada soal di atas 4 - 1 3 = 3 5 - 1 3 = 3 - 1 + 5 - 3 = 2 2 5 5 5 5 5 5Kerjakan penjumlahan dan pengurangan pecahan berikut!1. 3 + 2 2 = ... 4. 5 4 + 10 = ... 6. 3 - 1 3 = ... 9. 8- 5 4 = ... 3 9 5 92. 4 + 2 3 = ... 5. 4 7 + 12 = ... 7. 4 - 2 3 = ... - 4 7 = ... 4 11 4 113. 5 + 3 2 = ... 8. 5 - 3 2 = ... 5 5Menjumlahkan dan Mengurangkan Tiga PecahanKalian dapat mengerjakan bertahap atau Penyelesaian bertahap1 + 1 - 1 = ... 1 + 1 - 1 = 3 + 2 - 1 = 5 - 1 = 10 - 3 = 72 3 4 2 3 4 6 6 4 6 4 12 12 12Adapun penyelesaian langsung dengan menyamakan penyebut tiga pecahan. 1 + 1 - 1 = 6 + 4 - 3 = 7 2 3 4 12 12 12 1212 Senang Belajar MATEMATIKA untuk SD/MI kelas VTantangan pBeecraahpaankabherhikausitl operasi hitung ini?Selesaikanlah operasi hitung pecahan berikut! 21 1 + 2 1 - 3 3 + 4 1 1 4 - 5 5 61 2 3 1 8 1 1 + 6 3 4 6 9 6 21. + - = ... 5. 8 - 2 - = ...2. 9 - 2 + 3 = ... 6. 12 5 - 3 5 - 1 1 = ... 10 5 4 6 12 23. 1 3 + 2 1 - 1 = ... 7. 15 9 + 2 1 - 1 1 = ... 9. 24 8 - 12 1 - 3 1 = ... 5 6 2 11 22 2 9 6 24. 2 2 + 4 3 - 4 = ... 8. 20 2 + 5 3 - 2 2 = ... 10. 50 5 - 5 5 - 4 1 = ... 3 5 15 3 5 15 6 12 8Pasangkanlah operasi hitung berikut yang mempunyai nilai sama! 1. 6 1 + 5 5 - 4 1 = ... a. 1 + 2 6 12 3 5 2. 5 4 - 2 7 - 1 1 = ... b. 3 1 + 2 3 5 20 4 4 8 3. 10 5 - 4 5 + 2 3 = ... c. 9 + 5 8 12 4 6 4. 12 5 + 3 1 - 5 1 = ... d. 7 + 1 6 12 4 4 5. 15 - 5 4 - 4 1 = ... e. 7 7 + 1 3 16 8 12 8Menyelesaikan Permasalahan Sehari-haritentang Penjumlahan dan Pengurangan PecahanContoh1. Ibu membeli tepung. Berapa kg seluruh belanjaan Ibu?2. tersebut digunakan untuk membuat kue Persediaan 1 1 kg. Sisa gula yang dimiliki Ibu adalah … kg. 5Penyelesaian1. Kalimat Matematikanya adalah 1 1 + 2 1 = ... 2 4 1 1 + 2 1 = 1 + 2 + 1 + 1 = 3+ 2 + 1 = 3 3 2 4 2 4 4 4 4 Jadi, belanjaan Ibu adalah 3 3 kg. 42. Kalimat Matematikanya adalah 2 1 - 1 1 = ... hntutptrsiti/o/ 4 5 2 1 - 1 1 = 2 - 1 + 1 - 1 = 1+ 5 - 4 = 1 1 4 5 4 5 20 20 20 1 Jadi, sisa gula adalah 1 20 Hitung Pecahan 13Selesaikanlah soal cerita di bawah ini!1 Siti memiliki pita 3 meter, sedangkan Beni memiliki pita 7 meter. Jika pita 4 8 mereka disambung, maka panjang maksimal hasil pita sambungan adalah … Terdapat cadangan gabah di gudang 5 21 ton, didatangkan lagi 3 1 ton. 2 Berapa ton gabah yang harus ditambahkan agar menjadi 10 ton?3 Luas pekarangan Pak Made 200 m2, ditanami kacang seluas 8421 m2, ditanami bunga. Berapa m2 luas tanah ditanami sayur 68 1 m2, dan sisanya 4 yang ditanami bunga?4 Ani adalah seorang penjahit. Untuk membuat celana panjang diperlukan 118 meter kain, sedangkan untuk membuat kemeja lengan pendek diperlukan kain sebanyak 1 1 meter. Berapa meter kain yang diperlukan untuk membuat 2 2 celana panjang dan 2 kemeja lengan pendek?5 Pak Harjo berkeinginan mengganti talang rumah. Untuk bagian depan rumah, talang yang diperlukan 541 meter, sedangkan untuk dapur 3 3 meter. Pak Harjo mempunyai persediaan talang 412 meter. Berapa meter 8 talang yang harus dibeli Pak Harjo agar dapat mengganti seluruh talang rumahnya?6 Pada penimbangan bayi di posyandu diperoleh data berikut. Berat Aira 26 kg, berat Meyza 27 kg, dan berat Zaskia 23 kg. Tentukan berat 4 5 4 ketiga bayi tersebut! Carilah penjumlahan atau pengurangan dua pecahan yang hasilnya adalah 34. 3 414 Senang Belajar MATEMATIKA untuk SD/MI kelas VPilihan GandaPilihlah Jawaban yang benar!1. Hasil dari 4 + 3 = ... 7 8 A. 21 B. 32 C. 53 D. 55 56 56 56 562. Hasil dari 1 2 + 5 = ... 3 6 A. 1 1 B. 1 3 C. 221 D. 2 3 2 4 43. Hasil dari 2 1 + 1 5 = ... 5 8 A. 3 8 B. 3 25 C. 3 33 D. 4 33 40 40 40 404. Perhatikan operasi penjumlahan berikut! Operasi penjumlahan yang hasilnya 1 5 adalah …. 6 A. 1 + 1 B. 1 1 + 1 C. 1 + 1 1 D. 1 1 + 1 2 3 3 3 4 3 3 25. Hasil dari 2 2 - 1 5 = ... 3 6 1 1 11 5 A. 2 3 B. 2 6 C. 1 12 D. 66. Hasil dari 4 3 - 1 1 = ... 4 2 3 1 C. 341 3 A. 3 4 B. 3 2 D. 2 47. Hasil dari 6 - 318 = ... 1 C. 278 1 7 8 8 A. 3 8 B. 3 D. 28. Hasil pengurangan yang hasilnya 5 adalah … 8 A. 1 1 - 83 B. 1 1 - 5 C. 1 18 - 1 D. 1 1 - 1 2 8 8 2 3 29. Dayu memiliki 1 1 kg telur. Sebanyak 3 kg telur digunakan untuk membuat 8 8 martabak. Sisa telur Dayu adalah … kg. A. 3 B. 2 C. 28 D. 1 4 4 810. Edo membagi buah semangka menjadi 8 bagian sama besar. Sebanyak 1 4 bagian dibagikan ke Siti, 3 bagian dibagikan ke Beni. Banyak semangka yang 8 dibagikan Edo adalah … bagian. A. 1 B. 1 C. 3 D. 5 8 4 8 8Operasi Hitung Pecahan 15Soal Uraian1 Populasi penduduk SduarnidsauakdualJaahwa230addaarlai gdiaann penduduk dari suku populasi penduduk suku Jawa dan suku Sunda di Indonesia?2 Populasi dsiukInudBoanteaskiadi1I92n5dodnaersi iape2n10d70udduakri penduduk Indonesia. Populasi suku Madura Indonesia. Berapa bagian populasi suku Batak dan suku Madura di Indonesia?3 Di Indonesia banyak bahasa yang digunakan dalam percakapan sehari-hari. Diantaranya adalah bahasa Indonesia dan bahasa Jawa. Penggunaan bahasa Indonesia 1 bagian. Penggunaan bahasa Jawa 3 bagian. Berapa bagian 8 10 selisih penggunaan bahasa Jawa dan bahasa Indonesia dalam percakapan sehari-hari?4 Di sebuah perkampungan tinggal suku Jawa, Madura, dan Sunda. Penduduk 5 3 suku Jawa 8 bagian, penduduk suku Sunda 16 , dan sisanya suku Madura. Berapa bagian penduduk suku Madura pada perkampungan tersebut?5 Peserta karnaval peringatan Hari Kemerdekaan RI terdiri atas 2 pelajar, 5 6 12 pegawai, dan sisanya dari masyarakat. Berapa bagian peserta karnaval dari masyarakat?6 Perhatikan asal suku dari beberapa siswa berikut ini. NO. SUKU BANYAK SISWA 1. Jawa 32 2. Bali 10 3. Madura 12 4. Batak 6 Jumlah 60 Pertanyaan a. Berapa bagian siswa dari suku Jawa? b. Berapa bagian siswa dari suku Bali? c. Berapa bagian siswa dari suku Madura? d. Berapa bagian siswa dari suku Batak?16 Senang Belajar MATEMATIKA untuk SD/MI kelas VSumber Dok. Penulis No. B A H AN UKURAN 1. Tepung beras 0,2 kg 2. Gula halus 0,35 ons 3. Telur 1 butir 4. Kuning telur 1 buah 5. Garam 1 sendok teh 6. Santan 0,250 L dari 1 butir kelapa 2 7. Wijen sendok makan 8. Minyak goreng 1 1 secukupnya 2 Menjelang lebaran atau di saat liburan, tradisi yang menyenangkan bagi Siti adalah membuat kue di rumah. Kue yang dibuat contohnya Kembang Goyang. Per- hatikan dan amati bahan-bahan yang digunakan untuk membuat kue Kembang Goyang. Siti memiliki tepung 1 kg dan kelapa 2 butir. Berapa adonan yang dapat Siti buat? Siti membuat 5 kali adonan. Berapa sendok makan wijen dan garam yang Siti butuhkan? Pada pelajaran berikut, kamu akan mempelajari operasi perkalian dan pemba- gian pecahan dan pecahan desimal. Amatilah gambar dan cermati isi teks kemudian ikuti kegiatannya!Ayo, Belajar Perkalian Pecahan! 1. Buatlah kelompok berpasangan, setiap kelompok dua orang. 2. PMeecnaehnatnuk31andihwaaskililipberakgaialinanya13n×g 1 = ... 3. 2 diarsir. Perkalian PecahanppKdPeee 4. Dikali 1 berarti bagian pecahan 1 dibagi 2 bagian. 2 3 5. Bagian yang diarsir adalah SportifLddLaeeaknnkugugk dan mandiri. 6. Jadi, 1 × 1 = 1×1 = 1 2 3 2×3 618 Senang Belajar MATEMATIKA untuk SD/MI kelas VPerkalian PecahanPerkalian pecahan dilakukan dengan mengalikan pembilang dengan pembilangdan penyebut dikalikan dengan Dua Pecahan BiasaContoh Penyelesaian2 × 3 = ... 2 × 3 = 2×3 = 6 = 35 4 5 4 5×4 20 10Kerjakan perkalian pecahan berikut!1. 2 x 3 = ... 3. 5 x 2 = ... 5. 7 x 3 = ... 7. 3 x 3 = ... 9. 4 x 4 = ... 3 5 8 15 9 14 4 14 11 72. 4 x 1 = ... 4. 3 x 5 = ... 6. 5 x 4 = ... 8. 5 x 9 = ... 10. 2 x 3 = ... 5 4 5 12 6 11 6 17 9 25Perkalian Pecahan Biasa dengan Bilangan AsliContoh Penyelesaian1. 6 × 3 = ... 1. 6 × 3 = 6×3 = 18 = 4 2 = 4 1 4 4 4 4 4 2 2 2 2×9 182. 3 × 9 = ... 2. 3 × 9 = 3 = 3 = 6Kerjakan perkalian pecahan berikut!1. 5x 3 = ... 3. 3x 2 = ... 5. 12 x 7 = ... 7. 3 x 20 = ... 9. 4 x8 = ... 5 15 9 4 112. 8x 1 = ... 4. 6x 5 = ... 6. 5 x 4= ... 8. 1 x 12 = ... 10. 2 x 15 = ... 4 12 6 6 9Operasi Hitung Pecahan 19Perkalian Pecahan Campuran dengan Bilangan AsliContoh Penyelesaian1. 1 2 × 4 = ... 1. 1 2 × 4 = 7 × 4 = 7×4 = 28 = 5 35 5 5 5 5 52. 3 × 174 = ... × 174 11 3 × 11 33 5 2. 3 = 3 × 7 = 7 = 7 = 4 7Kerjakan perkalian pecahan berikut!1. 2 2 x5 = ... 4. 1 5 x4 = ... 7. 5 x 1 3 = ... 9. 12 x 1 4 = ... 3 7 7 92. 1 4 x2 = ... 5. 1 7 x2 = ... 8. 6 x 1 9 = ... 10. 100 x 1 3 = ... 5 9 10 253. 2 5 x6 = ... 6. 4 x 7 = ... 8 9Perkalian Pecahan Campuran dengan Pecahan BiasaContoh Penyelesaian1. 1 1 x 1 = ... 1. 1 1 x 1 = 5 x 1 = 5x1 = 5 4 6 4 6 4 6 4x6 242. 1 x 1 4 = ... 2. 1 x 1 4 = 1 x 9 = 1x9 = 9 4 5 4 5 4 5 4x5 20Selesaikanlah perkalian pecahan berikut!1. 2 2 x 1 = ... 4. 1 2 x 2 = ... 7. 2 x 1 3 = ... 9. 4 x 1 7 = ... 3 6 7 3 5 7 5 82. 2 4 x 1 = ... 5. 1 7 x 2 = ... 8. 3 x 2 3 = ... 10. 5 x 1 3 = ... 5 8 8 5 4 10 8 43. 1 2 x 2 = ... 6. 2 x 1 5 = ... 7 5 3 920 Senang Belajar MATEMATIKA untuk SD/MI kelas VPerkalian Pecahan Campuran dengan Pecahan CampuranContoh Penyelesaian1 1 x 2 1 = ... 1 1 x 2 1 = 5 x 13 = 5 x 13 = 65 = 2 17 4 6 4 6 4 6 4x6 24 24Kerjakan perkalian pecahan berikut!1. 2 4 x 1 1 = ... 4. 2 2 x 1 2 = ... 7. 4 2 x 2 2 = ... 9. 2 3 x 1 5 = ... 5 2 9 3 3 5 5 82. 1 2 x 1 1 = ... 5. 4 5 x 2 1 = ... 8. 2 1 x 1 5 = ... 10. 4 5 x 1 1 = ... 5 14 8 4 4 8 6 23. 2 1 x 1 1 = ... 6. 3 1 x 2 1 = ... 4 8 3 9Soal Cerita Perkalian PecahanDalam penyelesaian soal cerita operasi hitung pecahan, kamu dapat mengikutilangkah-langkah Menuliskan kalimat matematika dari soal cerita Menyelesaikan kalimat Menjawab pertanyaan atau SoalPerhatikan kembali kegiatan Siti membantu ibunya membuat kue KembangGoyang. Siti membuat 5 kali adonan dan setiap adonan membutuhkan 121 sendokmakan wijen. Berapa sendok makan wijen yang dibutuhkan untuk 5 kali adonan?Langkah-Langkah Penyelesaiannya1. Kalimat matematika adalah 5 × 1 1 = ... 1 3 5x3 15 12. 2 2 2 2 2 2 Penyelesaian kalimat matematikanya adalah =5 x = = = 5 x 1 73. Menjawab pertanyaan adalah sebagai berikut. Jadi, wijen yang dibutuhkan 7 1 sendok makan. 2Operasi Hitung Pecahan 21Kerjakan perkalian pecahan berikut! Carilah jawaban pada pecahan yang memiliki label huruf! Susunlah pada petak di kanan soal sesuai nomor urut soal. Hasilmu akan membentuk Senang Belajar MATEMATIKA untuk SD/MI kelas VSelesaikan soal cerita berikut! Tuliskan cara dan hasilnya di buku tulis-mu!1 Ibu memiliki 2 1 karung tepung. Jika setiap karung berisi 2 kuintal tepung, 2 5 berapa kuintal tepung Ibu seluruhnya?2 Ibu memiliki persediaan gula dalam 5 bungkus plastik. Apabila setiap bungkus berisi 212kg gula, berapa berat semua gula persediaan Ibu?3 Beni mandi menghabiskan air 16 gayung. Setiap gayung berisi 3 liter. 5 Berapa liter air yang dipakai Beni mandi?4 Siti akan membeli buku tulis sebanyak 1 1 lusin. Apabila harga buku per 2 lusin berapa rupiah Siti harus membayar?5 Sebuah taman berbentuk persegipanjang dengan ukuran panjang 10 21 m dan lebar 8 1 m. Tentukan luas taman tersebut! 46 Dayu berlari sejauh 5 1 km. Edo berlari sejauh 2 12 kali jarak yang ditempuh 4 Dayu. Berapa km jarak yang ditempuh Edo?7 Ali bersama orang tuanya bepergian dari Kota Palu ke Luwuk melalui jalan 3 darat menempuh jarak 590 km. Setelah menempuh 5 perjalanan, mereka beristirahat. Berapa km perjalanan yang sudah dilalui Ali bersama orang tuanya?8 Uang Beni 341 kali lebih banyak daripada uang Roy. Jika uang Roy berapakah uang Beni?9 Sebuah truk setiap kali mengangkut pasir satu rit volumenya 625 m3. Hari itu truk tersebut? truk mengangkut 4 3 rit pasir. Berapa m3 pasir yang diangkut 410 mAlienbeemrlaprui hmejnagraeklili9n6gi12lamp, Hitung Pecahan 23Sumber penjual kelontong menjual gula dalam bungkusan bungkus plastik berisi 1 kg gula. 2Seorang penjual tersebut hendak membungkus 25 kg plastik yang ia butuhkan?Permasalahan ini yang melibatkan pembagian dalam bentuk pelajari dengan sungguh-sungguh materi pembagian Senang Belajar MATEMATIKA untuk SD/MI kelas VPembagian Ayo, Belajar Pembagian Pecahan! 1. Buatlah kelompok 2. Buatlah langkah cara membagi dua pecahan2 2 = 2 x 5 = 10 = 5 = 1 2 dengan media kertas seperti pada aktivitas pada3 5 3 2 6 3 3 halaman 18. 3. Presentasikan hasil kerja kelompokmu di depan kelas. Pembagian sering ditemukan dalam kehidupan sehari-hari. Coba kamu perhatikan kembali pada saat Siti membantu Ibu membuat kue Kembang Goyang. Setiap adonan membutuhkan tepung 0te,2puknggadtai Berapa adonan yang dapat dibuat? Penyelesaian Kalimat matematikanya adalah 2 4 1 = ... 5 5 14 x 5 = 70 = 14 Sumber Dok. Penulis 5 1 5Jadi, adonan yang dapat dibuat adalah 14 kali. Kebalikan suatu Bilangan Pecahan Bentuk pembagian bilangan pecahan dapat diubah menjadi bentuk perkalian atau perkalian dengan kebalikan bilangan pecahan tersebut. Perhatikan bilangan pecahan berikut. 2 5 5 2 dan Pecahan 2 dan 5 apabila dikalikan sama dengan 1, yaitu 2 × 5 = 1. 5 2 5 2 Kebalikan suatu pecahan apabila dikalikan sama dengan 1. Kebalikan pecahan 2 adalah 5 dan kebalikan pecahan 5 adalah 2 . 5 2 2 5Operasi Hitung Pecahan 25Carilah kebalikan dari pecahan-pecahan berikut!1. 2 6. 5 6 92. 3 7. 3 4 73. 1 8. 7 4 104. 2 9. 4 7 55. 7 10. 3 8 4Kebalikan Bilangan AsliAnggota bilangan asli adalah 1, 2, 3, ... . Bilangan asli dapat diubah menjadi pecahandengan bentuk yang paling sederhana adalah pembilang bilangan itu sendiri denganpenyebut 2 apabila diubah menjadi bentuk pecahan adalah 2 1 2 1Kebalikan dari 2 atau 1 adalah 2Carilah kebalikan dari bilangan-bilangan berikut!1. 6 6. 15 Tantangan2. 5 7. 183. 8 8. 36 Carilah nilai nbepraikduatpineri!samaan4. 10 9. 42 matematika5. 12 10. 60 1 x 1 5= 1 4 2 n - 1026 Senang Belajar MATEMATIKA untuk SD/MI kelas VKebalikan dari Pecahan CampuranPecahan campuran diubah terlebih dahulu menjadi pecahan biasa. Kemudiandicari 1 = 7 2 2 7 27 .Kebalikan dari 2 adalahJadi, kebalikan dari 3 1 adalah 27 . 2Carilah kebalikan dari pecahan-pecahan berikut!1. 1 1 3. 2 1 5. 3 3 7. 3 3 9. 3 4 6 4 8 7 52. 2 3 4. 3 2 6. 2 5 8. 2 7 10. 4 3 4 7 9 10 4Pembagian PecahanPembagian Bilangan Asli dengan Pecahan BiasaPembagian pecahan dengan bilangan asli dapat diselesaikan melalui operasiperkalian Penyelesaian6 1 = ... 6 1 = 6x 4 = 24 4 4 1Kerjakan pembagian pecahan berikut!1. 8 1 = ... 3. 5 1 = ... 5. 2 3 = ... 7. 7 2 = ... 9. 6 7 = ... 4 3 10 3 182. 4 1 = ... 4. 3 4 = ... 6. 6 3 = ... 8. 4 4 = ... 10. 8 4 = ... 2 7 4 15 9Operasi Hitung Pecahan 27Pembagian Pecahan Biasa dengan Bilangan AsliPembagian pecahan dengan bilangan asli dapat diselesaikan melalui operasiperkalian Penyelesaian3 6 = ... 3 6 = 3 6 = 3 x 1 = 234= 14 4 4 1 4 6 8Kerjakan pembagian pecahan berikut!1. 5 2 = ... 3. 4 5 = ... 5. 7 14 = ... 7. 5 8 = ... 9. 7 21 = ... 6 9 10 8 182. 1 6 = ... 4. 4 3 = ... 6. 5 4 = ... 8. 4 6 = ... 10. 5 25 = ... 2 7 6 15 9Pembagian Bilangan Asli dengan Pecahan CampuranPembagian bilangan asli dengan pecahan campuran dapat diselesaikan dengan Pecahan campuran diubah menjadi pecahan Bentuk pembagian diubah menjadi bentuk perkalian, kalikan bilangan pertama dengan kebalikan bilangan Penyelesaian6 1 1 = ... 6 1 1 = 6 5 = 6x 4 = 6x4 = 24 = 4 4 4 4 4 5 5 5 5Kerjakan pembagian pecahan berikut!1. 4 1 1 = ... 3. 6 2 1 = ... 5. 6 1 3 = ... 7. 10 2 2 = ... 9. 18 1 7 = ... 2 3 10 3 82. 5 2 1 = ... 4. 2 1 3 = ... 6. 8 3 3 = ... 8. 12 1 4 = ... 10. 22 2 4 = ... 2 7 4 5 928 Senang Belajar MATEMATIKA untuk SD/MI kelas VPembagian Pecahan Campuran dengan Bilangan AsliPembagian pecahan campuran dengan bilangan asli dapat diselesaikan dengan Pecahan campuran diubah menjadi pecahan Bentuk pembagian diubah menjadi bentuk perkalian. Kalikan bilangan pertama dengan kebalikan bilangan Penyelesaian114 8 = ... 1 1 8 = 5 8 = 5 8 = 5 x 1 = 5 = 4 4 4 4 4 1 4 8 32 5Kerjakan pembagian pecahan berikut!1. 1 5 2 = ... 3. 5 4 5 = ... 5. 3 7 12 = ... 7. 2 7 9 = ... 9. 1 7 11 = ... 6 9 10 8 152. 4 1 6 = ... 4. 5 4 13 = ... 6. 2 5 7 = ... 8. 2 4 5 = ... 10. 2 5 3 = ... 2 7 8 15 9Pembagian Pecahan Campuran dengan Pecahan BiasaPembagian pecahan campuran dengan pecahan biasa dapat diselesaikan dengan Pecahan campuran diubah menjadi pecahan Bentuk pembagian diubah menjadi bentuk perkalian. Ubahlah bilangan pembagi dengan kebalikan bilangan Penyelesaian2 41 3 = ... 2 1 3 = 9 3 = 9 x 5 = 45 = 3 3 5 4 5 4 5 4 3 12 4Kerjakan pembagian pecahan berikut!1. 2 1 1 = ... 4. 1 3 2 = ... 7. 8 1 5 = ... 9. 8 4 4 = ... 5 6 7 5 3 6 9 182. 4 1 1 = ... 5. 2 2 3 = ... 8. 4 4 4 = ... 10. 9 1 9 = ... 5 3 5 10 15 5 15 213. 2 5 2 = ... 6. 5 3 2 = ... 8 3 4 5Operasi Hitung Pecahan 29Pembagian Pecahan Campuran dengan Pecahan CampuranPembagian pecahan campuran dengan pecahan campuran dapat diselesaikan den-gan cara Masing-masing pecahan campuran diubah menjadi pecahan Bentuk pembagian diubah menjadi bentuk perkalian. Gantilah bilangan pembagi dengan kebalikan bilangan Penyelesaian243 151 = ... 2 3 1 1 = 11 6 = 11 x 5 = 55 = 2 7 4 5 4 5 4 6 24 24Kerjakan pembagian pecahan berikut!1. 4 1 2 1 = ... 4. 3 1 3 3 = ... 7. 9 3 3 3 = ... 9. 7 2 2 7 = ... 5 4 7 8 5 7 9 182. 2 1 7 1 = ... 5. 3 2 1 7 = ... 8. 6 1 4 4 = ... 10. 8 1 3 1 = ... 3 2 5 10 5 15 24 23. 2 3 1 1 = ... 6. 8 1 2 1 = ... 8 2 4 2Perkalian dan Pembagian PecahanDalam operasi perkalian dan pembagian pecahan dapat diselesaikan dengan Semua bentuk pecahan diubah menjadi pecahan Bentuk pembagian diubah menjadi bentuk Penyelesaian3 x 1 1 2 = ... 3 x 1 1 2 = 3 x 3 x 5 = 45 = 2 134 2 5 4 2 5 4 2 2 16 16Kerjakan pembagian pecahan berikut!1. 1 x 2 5 = ... 4. 1 4 x 3 2 = ... 7. 5 1 2 x 1 = ... 9. 7 7 x 2 = ... 4 5 6 5 4 3 3 5 12 9 18 32. 1 1 x 1 3 = ... 5. 5 x 6 3 = ... 8. 2 2 2 x 7 = ... 10. 8 1 3 1 = ... 3 2 5 12 7 7 15 3 15 24 23. 2 1 x 1 1 = ... 6. 2 1 3 x 2 = ... 8 5 4 4 4 330 Senang Belajar MATEMATIKA untuk SD/MI kelas VSoal Cerita Pembagian PecahanPenyelesaian soal cerita pembagian pecahan mengikuti tahapan Menuliskan kalimat Menyelesaikan kalimat Menjawab pertanyaan atau Huda membeli pita sepanjang 5 m untuk tanda peserta kegiatan perkemahanpenggalang. Pita tersebut akan dipotong-potong dengan ukuran sama potongan panjangnya 1 m. Berapa banyak potongan pita tersebut? 5Penyelesaian1. Kalimat Matematikanya adalah 5 1 = ... 52. Menyelesaikan kalimat matematika dengan cara 5 1 = 5x 5 = 25 5 13. Menjawab pertanyaannya adalah sebagai berikut. Jadi, banyaknya potongan pita adalah 25 Hitung Pecahan 31Kerjakan pembagian pecahan berikut! Carilah jawaban pada pecahan yang memiliki label huruf! Susunlah pada petak di kanan soal sesuai nomor urut soal. Hasilnya akan memben- tuk Senang Belajar MATEMATIKA untuk SD/MI kelas VSelesaikan soal cerita berikut! Tuliskan cara dan hasilnya di buku tulismu!1 Di kelas Siti dan teman-temannya melakukan praktik membuat kue. Setiap satu kali membuat adonan membutuhkan 2 1 kg tepung. Apabila disediakan 4 tepung 18 kg, berapa kali adonan yang dapat mereka buat?2 Keliling sebuah taman 24 m. Apabila di keliling taman akan diberi pot dengan jarak antarpot 1 1 m, berapa pot yang dibutuhkan? 23 Seorang pedagang membeli gula 20 kg. Gula tersebut selanjutnya akan dibungkus dalam plastik-plastik kecil. Setiap plastik kecil berisi 141 kg. Berapa plastik kecil yang dibutuhkan pedagang tersebut?4 Beni mendapat tugas dari gurunya untuk membuat lukisan kolase. Saat ini dia memiliki 1 1 kg pasir halus. Sebuah kolase membutuhkan 1 kg pasir 2 16 halus. Berapa banyak kolase yang dapat dibuat Beni?5 Persediaan beras Ibu 21 kg. Setiap hari menghabiskan beras untuk memasak 3 kg. Berapa hari persediaan beras Ibu akan habis? 46 Ibu memiliki abon ikan 312 kg yang akan dimasukkan ke dalam 5 kantong plastik. Ukuran kantong plastik sama. Berapa kg berat setiap kantong plastik?7 Sebuah mobil pick up akan mengangkut pasir 6 ton. Setiap kali angkut mobil hanya mampu membawa 2 1 kuintal pasir. Berapa kali mobil pick up dapat 2 mengangkut semua pasir?8 Lampu projektor memiliki daya pakai 1000 jam. Setiap hari rata-rata dinyalakan selama 6 1 jam. Berapa jam lampu projektor itu dapat dipakai? 49 Di sekeliling kebun akan ditanami bibit sirsak dengan jarak tanam 3 1 m. 2 1 Keliling kebun tersebut 696 2 m. Berapa banyak bibit sirsak yang dibutuhkan?10 Ibu memiliki susu dalam gelas. Setiap gelas berisiOperasi Hitung Pecahan 33Sumber modifikasiSiti membeli jeruk 4 buah. Berat setiap buah jeruk 0,125 berat jeruk yang dibeli Siti?Berat keempat jeruk tersebut dapat dihitung dengan cara + 0,125 + 0,125 + 0,125atau4 x 0,125Mengenal Pecahan DesimalBilangan Pecahan desimal adalah bentuk lain dari suatu pecahan. Ciri dari pecahandesimal adalah tanda koma , Contoh Pecahan Desimal• Bentuk pecahan desimal dari 3 adalah 0,3 10• Bentuk pecahan desimal dari 3 adalah 0,03 100• Bentuk pecahan desimal dari 3 adalah 0,003 100034 Senang Belajar MATEMATIKA untuk SD/MI kelas VPerkalian DesimalBilangan desimal merupakan bentuk lain dari pecahan dengan penyebut 10, 100,1000, dan seterusnya. Penyelesaian perkalian desimal dapat dilakukan dengan cara1. mengubah bentuk desimal menjadi pecahan, atau2. mengalikan langsung dengan cara Desimal dengan Cara Mengubah menjadi Bentuk PecahanBentuk desimal dapat diubah menjadi bentuk pecahan. Kemudian, pecahan terse-but x 0,25 = …Penyelesaian0,5 x 0,25 = 5 × 25 = 125 = 0,125 10 100 1000Kerjakan perkalian desimal berikut!1. 0,1 x 0,25 = ... 6. 0,03 x 1,75 = ...2. 0,45 x 2,4 = ... 7. 20 x 0,125 = ...3. 1,4 x 1,02 = ... 8. 4,8 x 2,8 = ...4. 1,6 x 0,45 = ... 9. 25,4 x 0,2 = ...5. 3,6 x 8 = ... 10. 9,6 x 0,36 = ...Perkalian Desimal dengan Perkalian BiasaPerkalian desimal dapat diselesaikan dengan metode perkalian 0,5 x 0,25 = 0,1250,5 x 0,25 = …Penyelesaian { { {0,2 5 1 angka 2 angka 3 angka 0,5 di belakang di belakang di belakang 25 koma koma koma1 x0000, 1 2 5Operasi Hitung Pecahan 35Kerjakan perkalian desimal berikut!1. 0,2 x 0,15 = ... 6. 0,04 x 1,25 = ...2. 0,15 x 2,1 = ... 7. 40 x 0,025 = ...3. 1,2 x 1,04 = ... 8. 4,7 x 5,8 = ...4. 1,5 x 0,15 = ... 9. 15,1 x 0,1 = ...5. 2,4 x 5 = ... 10. 9,5 x 0,34 = ...Menyelesaikan Masalah Terkait Perkalian DesimalPerhatikan kembali kegiatan pembuatan kue Kembang Goyang pada kegiatan AyoAmati halaman 25. Setiap adonan membutuhkan 0,35 ons gula pasir. Coba kamucari! Siti ingin membuat 2,5 adonan. Berapa gula pasir yang dibutuhkan?Penyelesaian1. Kalimat Matematikanya adalah 0,35 x 2,5 = ...2. Menyelesaikan kalimat matematikanya adalah0, 35 x 2, 5 = 35 x 25 = 0, 875 100 103. Menjawab pertanyaannya adalah sebagai berikut. Jadi, gula pasir yang dibutuhkan adalah 0,875 kelompok, setiap kelompok beranggotakan 4 siswa! Cobalah kamu kerjakanperkalian desimal berikut dengan dua cara, yaitu a. mengubah ke bentuk pecahandan b. cara susun! Setiap kelompok membagi 2 kelompok kecil, 1 kelompok kecilmencoba menggunakan bentuk pecahan dan kelompok yang lain menggunakancara susun. Kemudian, diskusikan hasilnya! Adakah perbedaannya? Manakah yanglebih mudah? Sampaikan hasil diskusi di depan teman-temanmu!1. 1,5 x 0,25 = ... 6. 1,5 x 0,4 = ...2. 0,36 x 0,4 = ... 7. 0,75 x 8 = ...3. 0,125 x 0,8 = ... 8. 3,5 x 1,2 = ...4. 0,375 x 1,25 = ... 9. 1,25 x 3,2 = ...5. 0,12 x 2,5 = ... 10. 4,5 x 0,75 = ...36 Senang Belajar MATEMATIKA untuk SD/MI kelas VPembagian Desimal dengan Mengubah PecahanBilangan desimal adalah bentuk lain dari pecahan dengan penyebut 10, 100, 1000,dan seterusnya. Pembagian bilangan desimal dapat dilakukan dengan cara mengu-bah bilangan desimal tersebut menjadi bentuk 0,25 = …Penyelesaian0,4 0,25 = 4 25 = 4 × 100 = 400 = 1 150 =1 600 =1 6 =1,6 10 100 10 25 250 250 1000 10Kerjakan perkalian desimal berikut!1. 2,5 0,5 = ... 6. 0,54 1,5 = ...2. 0,15 0,3 = ... 7. 6,4 0,16 = ...3. 7,2 1,2 = ... 8. 4,75 1,25 = ...4. 1,25 2,5 = ... 9. 6,5 0,13 = ...5. 3,6 7,2 = ... 10. 17,5 0,25 = ...Pembagian Desimal dengan Cara SusunPembagian desimal dapat diselesaikan dengan metode perkalian 0,25 = …Penyelesaian 1,60,25 0,4 25 40 25 _ dikalikan 150 150 _ 100 0atau Hasilnya 1 angka 1+0,6=1,6 0,4 0,25 = 1,6 di belakang 0,4 1 angka 2 angka Diperoleh dari hasil 0,25 _ di belakang di belakang 0,15 4 25 = 0,16. 0,15 _ koma koma 0 Bilangan yang dibagi 1 di belakang koma, koma geser ke kiri 1 langkah. Bilangan pembagi 2 angka di belakang koma, geser 2 langkah ke kanan. Jadi diper- oleh 1,6Operasi Hitung Pecahan 37Menyelesaikan Masalah Terkait Pembagian DesimalPerhatikan kembali kegiatan Siti membantu Ibu membuat kue Kembang adonan membutuhkan 0,2 kg tepung. Coba kamu cari! Siti memiliki 1,6 kgtepung. Berapa adonan yang dapat dibuat Siti?Penyelesaian1. Kalimat Matematikanya adalah 1,6 0,2 = ...2. Menyelesaikan kalimat matematikanya adalah 1,6 0,2 = 16 2 = 16 × 10 = 160 = 8 10 10 10 2 203. Menjawabnya adalah sebagai berikut. Jadi, banyaknya adalah 8 adonanKerjakan soal berikut dengan cara susun!1. 4,5 0,5 = ... 6. 0,48 1,6 = ...2. 0,75 0,3 = ... 7. 0,96 2,4 = ...3. 8,4 1,2 = ... 8. 8,75 1,25 = ...4. 6,25 2,5 = ... 9. 3,75 1,5 = ...5. 7,2 0,08 = ... 10. 17,55 2,7 = ...Buat kelompok, setiap kelompok beranggotakan 4 siswa! Cobalah kamukerjakan pembagian desimal berikut dengan dua cara, yaitu a. mengubah desimalke bentuk pecahan dan b. cara susun. Setiap kelompok membagi 2 kelompok kelompok kecil mencoba menggunakan bentuk pecahan dan kelompok yanglain menggunakan cara susun. Kemudian, diskusikan hasilnya! Adakah perbedaann-ya? Manakah yang lebih mudah? Sampaikan hasil diskusi di depan teman-temanmu!1. 1,5 0,25 = ... 2. 0,42 0,6 = ... 3. 0,625 0,8 = ... 4. 0,375 1,25 = ... 5. 10,35 2,3 = ... 6. 40 0,36 = ...7. 8,5 0,125 = ...8. 35,25 0,05 = ...9. 125,5 2,5 = ...10. 45,45 0,75 = ...38 Senang Belajar MATEMATIKA untuk SD/MI kelas VSelesaikanlah soal berikut dengan cara yang termudah!1. 0,5 10 = … 11. 4,8 0,4 =…2. 1,4 20 = … 12. 5,94 3,6 =…3 9,06 30 = … 13. 6,232 0,82 = …4. 24,8 100 = … 14. 25,75 0,25 = …5. 375,6 1000 = … 15. 131,08 0,58 = …6. 1,8 0,6 = …7. 1,44 1,2 = …8. 1,75 2,5 = …9. 2,16 6 = …10. 0,25 0,0005 = …Tentukan operasi pecahan yang hasilnya 1,5. 1,5Kerjakan secara berkelompok!Carilah informasi bahan-bahan kue yang kamu sukai dengan mewawancarai satuorang pembuat kue atau orang tuamu! Catatlah dan sekaligus cara pembuatannya!Apakah kamu menemukan bentuk pecahan dan desimal? Adakah operasi pecahandan desimal? Tuliskan hasil kerja kelompokmu!Operasi Hitung Pecahan 39Kerjakan perkalian dan pembagian desimal berikut! Carilah jawaban pada bilangan desimal yang memiliki label huruf! Susunlah pada petak di kanan soal sesuai nomor urut soal. Hasilnya akan memben- tuk kata!40 Senang Belajar MATEMATIKA untuk SD/MI kelas VSelesaikan soal berikut! Tuliskan cara dan hasilnya di buku tulismu!1 Sebuah ruangan berbentuk persegipanjang, panjangnya 641 m dan lebar 454 m. Tentukan m2 luas dinding tersebut!2 Sepotong tali panjangnya 1 m. Tali itu dipotong masing-masing panjangnya520 m. Berapa potong tali yang diperoleh?3 Dayu membeli gula pasir 7,5 kg. Gula pasir tersebut akan dibungkus dalamkantong-kantong plastik kecil. Setiap kantong plastik berisi 0,25 kg. Tentukankantong plastik yang dibutuhkan Dayu!4 Pak Tagor rata-rata dapat menangkap ikan setiap hari 10,5 kg. Berapa kg hasil tangkapan ikan Pak Tagor selama 8 hari?5 Diketahui berat semua kotak kue 36,9 kg. Tiga kotak kue beratnya 2,7 kg. Berapa banyak kotak kue yang ada?6 Sebuah mobil pick up 5 kali angkut memuat 7,5 ton beras. Jika beras yang akan diangkut 13,5 ton, diperlukan berapa kali angkut dengan mobil pick up itu?7 Pak Ahmad menyiapkan 150 kg beras. Beras tersebut akan dipindahkan ke dalam kantong plastik. Setiap kantong plastik memuat 1,5 kg. Berapa kantong plastik yang dibutuhkan?8 Panitia pembagian zakat fitrah di suatu masjid mengumpulkan 105 kg beras dari para pembayar zakat. Setiap wajib zakat diharuskan membayar 2,5 kg beras. Berapakah jumlah pembayar zakat di masjid tersebut?9 Bu Fatimah menyiapkan 2,7 liter santan. Setiap porsi gulai memerlukan 0,45 liter santan. Berapa porsi gulai yang dapat dimasak Bu Fatimah?10 Seutas tali panjangnya 19,6 m dipotong-potong menjadi beberapa bagian. Setiap potong panjangnya 2,8 m. Berapa potong tali yang diperoleh?Operasi Hitung Pecahan 41Buatlah soal cerita yang berkaitan dengan perkalian dan pembagian pecahan dandesimal. Kemudian, selesaikanlah soal yang kamu buat!Cobalah kamu minta kepada Bapak atau Ibumu nota pembelian barang yang men-gandung perkalian bilangan desimal!Perkalian & Pembagian Pecahan1. Perkalian Pembilang dikali dengan pembilang dan penyebut dikali dengan penyebut. a × c = a × c ; b ≠ 0, d ≠ 0 b d b × d2. Pembagian Pembagian diubah dalam bentuk perkalian, yaitu dikali dengan kebalikannya. a c = a × d = a × d ; b ≠ 0, c ≠ 0, d ≠ 0 b d b c b × cPerkalian & Pembagian Desimal1. Perkalian Bilangan desimal dapat diubah menjadi pecahan, kemudian dikalikan. 0,5 x 1,25 = 5 × 125 = 625 = 0,625 10 100 10002. Pembagian Pecahan desimal diubah dalam bentuk pecahan biasa, kemudian dilakukan operasi pembagian. 1,25 0,5 = 125 5 = 125 × 10 = 1250 =2 250 =2 1 = 2,5 100 10 100 5 500 500 242 Senang Belajar MATEMATIKA untuk SD/MI kelas VPilihan GandaPilihlah jawaban yang benar! 1. A l dari 23 × 38 = ..B. . 1 C. 58 D. 2 3 32. Perhatikan operasi perkalian berikut. Operasi perkalian yang hasilnya 2 adalah 3 …. A. 1 × 2 B. 1 31 × 1 C. 1 × 1 1 D. 1 13 × 1 2 3 3 4 3 23. Hasil dari 8 1 5 = ... 3 6 B. 1 2 16 11 A. 1 3 C. 6 12 D. 104. Hasil pembagian yang hasilnya 2 23 adalah … B. A. 1 31 1 31 1 C. 1 1 1 D. 1 13 1 2 3 4 3 25. Hasil dari 1,2 x 0,25 = … A. 300,0 B. 30,0 C. 3,0 D. 0,36. Operasi perkalian yang hasilnya 0,4 adalah … A. 1,2 x 0,2 B. 0,5 x 0,8 C. 0,1 x 0,4 D. 0,2 x 0,27. Hasil dari 3,2 1,25 = … A. 0,256 B. 2,56 C. 25,6 D. 256,08. Operasi pembagian yang hasilnya 3,5 adalah … A. 1,4 0,4 B. 2,8 0,4 C. 0,28 0,4 D. 0,21 0,69. Nina memiliki susu 1 1 liter, susu tersebut akan dimasukkan ke dalam gelas. 2 1 Setiap gelas berisi 4 liter. Banyak gelas yang dibutuhkan Nina adalah … buah. A. 6 B. 7 C. 8 D. 910. Ali membuat teh di teko besar dengan volume 3,5 liter. Teh tersebut akan dituang ke dalam gelas dengan rata-rata isi setiap gelas 0,125 liter. Gelas yang dibutuhkan adalah … buah. A. 8 B. 12 C. 24 D. 28Operasi Hitung Pecahan 43

terdapat 5 buku matematika